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几个著名的不等式及其证明方法

时间:2023-10-19 理论教育 版权反馈
【摘要】:例8.1 平均值不等式 对任意n个正数a1,a2,…,an后面加上个,将其扩充成2l个正数.对这个2l个正数应用已证得的不等式,可得即对使用上面的结论,便可得左边的不等式.这个不等式也可用lnx在上的凸性来证明.例8.2 设f1,f2,…,n)是两组正实数,p,q>1,且,则当p=q=2时,上述不等式就是柯西-施瓦茨不等式.例8.9 试证明:证明 令,则于是原不等式左边变为

几个著名的不等式及其证明方法

8.1 平均值不等式 对任意n个正数a1a2,…,an,有

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当且仅当a1a2,…,an都相等时,等号成立.

简单地说,调和平均值≤几何平均值≤算术平均值.

证明 先证明右边的不等式成立.用数学归纳法.

n=1,2时,不等式显然成立.

n=2kk∈N+)时,不等式是978-7-111-46233-0-Chapter08-2.jpg的直接推论.

n≠2k时,取l∈N+,使2l-1<n<2l.

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a1a2,…,an后面加上(2l-n)个978-7-111-46233-0-Chapter08-4.jpg,将其扩充成2l个正数.对这个2l个正数应用已证得的不等式,可得

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978-7-111-46233-0-Chapter08-7.jpg使用上面的结论,便可得左边的不等式.

这个不等式也可用lnx在(0,+∞)上的凸性来证明.

8.2f1f2,…,fn为[0,1]上的非负连续函数.求证:存在ξ∈[0,1],使得

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证明 记

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若有某个ak=0,则结论显然成立.

ak>0(k=1,2,…,n.由平均值不等式,有

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再由积分中值定理,存在ξ∈[0,1],使得

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结论得证.

8.3 施瓦茨Schwarz不等式 设fx),gx)在[ab]上可积,则

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证明 设978-7-111-46233-0-Chapter08-13.jpg,对任意实数λ则有

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由实数λ的任意性,故其判别式Δ≤0,即

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978-7-111-46233-0-Chapter08-17.jpg978-7-111-46233-0-Chapter08-18.jpg同时为零,则由不等式

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可知,

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此时不等式变成等式,当然成立.

8.1 这个不等式也称柯西-施瓦茨不等式.它的离散形式是

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利用例8.3可很快捷地证明下面的结论.

类题1fx)在[ab]上可积,则

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(2)当fx>0时,有

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提示978-7-111-46233-0-Chapter08-24.jpg

fx)在[ab]上连续,也可用二重积分来证明.

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其中D=[ab]×[ab].

类题2 已知fx)≥0在[ab]上连续,978-7-111-46233-0-Chapter08-26.jpgk为任意实数,证明:

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(中国科大).

类题3fx)在[ab]上连续可导,fa=fb=0,978-7-111-46233-0-Chapter08-28.jpg,证明:

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提示 由施瓦茨不等式

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然后分部积分即可.

8.4fx)在[ab]上有连续的导函数,fa=0,证明:

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证明 令978-7-111-46233-0-Chapter08-32.jpg,则g′x=f′x.fa=0可知,

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于是有

978-7-111-46233-0-Chapter08-34.jpg

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8.5 杨格(W.H.Young)不等式y=fx)是[0,+∞)上的严格单调递增的连续函数,f(0)=0,x=gy)是它的反函数ab≥0,则(www.xing528.com)

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证法1 利用几何直观来证.若ab=0,则不等式显然成立.

不妨设ab>0,分三种情形证明:

(1)若b=fa),则显然有

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(2)若b>fa),记fa=c,则0<c<b,且有

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(3)若b<fa),此时a>gb),类似于(2)可证.

杨格不等式的几何示意图如图8-1所示.

证法2 用分析法来证.仅证b=fa)的情形.

因为fx)在[0,a]上单调递增且连续,故其反函数x=gy)在[0,b]上单调递增且连续.将区间[0,a]n等分,

T: 0=x0<x1<x2<<xn=a

相应地点yi=fxi)(i=0,1,…,n)构成区间[0,b]的一个分割

T′: 0=y0<y1<y2<<yn=b.

因为fx)在[0,a]上连续,所以它在[0,a]上一致连续,故当n→∞,即‖T‖→0时,有

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于是,由定积分的定义,得

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至于b>fa)与b<fa)的情形用与证法1相同的思路.

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图 8-1

简单推论 设fx)在[0,+∞)上严格单增且连续,f(0)=0,ab≥0,证明:

abafa+bf-1b.

下面给出杨格不等式的两个应用.

8.6ab>0,p>1,978-7-111-46233-0-Chapter08-42.jpg,证明:

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证明 因为p>1,所以fx=xp-1在[0,+∞)上严格单增且连续,其反函数为978-7-111-46233-0-Chapter08-44.jpg由杨格不等式,有

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另外,若令978-7-111-46233-0-Chapter08-46.jpg,求出Φb)的最小值点,利用最值法也可证该不等式.

类题1ab>0,p>1,978-7-111-46233-0-Chapter08-47.jpg,证明:

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提示 在例8.6中,将a换成978-7-111-46233-0-Chapter08-49.jpgb换成978-7-111-46233-0-Chapter08-50.jpg或在杨格不等式中取fx=xp-1,此时gy=yq-1,并将a换成978-7-111-46233-0-Chapter08-51.jpgb换成978-7-111-46233-0-Chapter08-52.jpg即可.

类题2ab>0,p>1,978-7-111-46233-0-Chapter08-53.jpg,证明:∀ε>0,有

978-7-111-46233-0-Chapter08-54.jpg

8.7ab≥1,证明不等式:

ab≤ea-1+blnb.

证明 取fx=ex-1,则fx)在[0,+∞)上严格单增且连续,其反函数gy=ln(1+y.利用杨格不等式,可得

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ab≤ea-1+blnb.

8.8 赫尔德Hölder不等式 设fx),gx)在[αβ]上可积,pq>1且978-7-111-46233-0-Chapter08-56.jpg,则

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p=q=2时,该不等式即为施瓦茨不等式.

证明 先设fg是[αβ]上的非负可积函数.

如果978-7-111-46233-0-Chapter08-58.jpg978-7-111-46233-0-Chapter08-59.jpg之一为零,不妨设978-7-111-46233-0-Chapter08-60.jpg,则此时赫尔德不等式右边为零,我们将证明左边也为零.

事实上,设0≤fx),gx)≤Mx∈[αβ].由可积性条件,∀ε>0,η>0,存在[αβ]的分割T,使得分割T中满足fpx)≥εp的区间长度之和不超过η.并且当分割细度充分小时,有

978-7-111-46233-0-Chapter08-61.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter08-62.jpg

如果978-7-111-46233-0-Chapter08-63.jpg978-7-111-46233-0-Chapter08-64.jpg,则令

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显然ab≥0.由例8.6的不等式,有

978-7-111-46233-0-Chapter08-66.jpg

对上式两边从αβ积分,并注意到978-7-111-46233-0-Chapter08-67.jpg可得结论.

fg变号时,由不等式978-7-111-46233-0-Chapter08-68.jpg,利用已证得的结论可知赫尔德不等式也成立.

8.2 赫尔德不等式的离散形式:设akbkk=1,2,…,n)是两组正实数,pq>1,且978-7-111-46233-0-Chapter08-69.jpg,则

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p=q=2时,上述不等式就是柯西-施瓦茨不等式.

8.9 试证明:

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证明 令978-7-111-46233-0-Chapter08-72.jpg,则

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于是原不等式左边变为

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