几个著名的不等式及其证明方法

例8.1 平均值不等式 对任意n个正数a₁，a₂，…，a_n，有

当且仅当a₁，a₂，…，a_n都相等时，等号成立.

简单地说，调和平均值≤几何平均值≤算术平均值.

证明 先证明右边的不等式成立.用数学归纳法.

当n=1，2时，不等式显然成立.

当n=2^k（k∈N₊）时，不等式是的直接推论.

当n≠2^k时，取l∈N₊，使2^l-1<n<2^l.记

在a₁，a₂，…，a_n后面加上（2^l-n）个，将其扩充成2^l个正数.对这个2^l个正数应用已证得的不等式，可得

即

对使用上面的结论，便可得左边的不等式.

这个不等式也可用lnx在（0，+∞）上的凸性来证明.

例8.2 设f₁，f₂，…，f_n为[0，1]上的非负连续函数.求证：存在ξ∈[0，1]，使得

证明 记

若有某个a_k=0，则结论显然成立.

设a_k>0（k=1，2，…，n）.由平均值不等式，有

再由积分中值定理，存在ξ∈[0，1]，使得

结论得证.

例8.3 施瓦茨（Schwarz）不等式 设f（x），g（x）在[a，b]上可积，则

证明 设，对任意实数λ则有

即

由实数λ的任意性，故其判别式Δ≤0，即

若与同时为零，则由不等式

可知，

此时不等式变成等式，当然成立.

注8.1 这个不等式也称柯西-施瓦茨不等式.它的离散形式是

利用例8.3可很快捷地证明下面的结论.

类题1 设f（x）在[a，b]上可积，则

（2）当f（x）>0时，有

提示

若f（x）在[a，b]上连续，也可用二重积分来证明.

其中D=[a，b]×[a，b].

类题2 已知f（x）≥0在[a，b]上连续，，k为任意实数，证明：

（中国科大）．

类题3 设f（x）在[a，b]上连续可导，f（a）=f（b）=0，，证明：

提示 由施瓦茨不等式

然后分部积分即可.

例8.4 设f（x）在[a，b]上有连续的导函数，f（a）=0，证明：

证明 令，则g′（x）=f′（x）.由f（a）=0可知，

于是有

例8.5 杨格（W.H.Young）不等式 设y=f（x）是[0，+∞）上的严格单调递增的连续函数，f（0）=0，x=g（y）是它的反函数，a，b≥0，则(https://www.xing528.com)

证法1 利用几何直观来证.若ab=0，则不等式显然成立.

不妨设a，b>0，分三种情形证明：

（1）若b=f（a），则显然有

（2）若b>f（a），记f（a）=c，则0<c<b，且有

（3）若b<f（a），此时a>g（b），类似于（2）可证.

杨格不等式的几何示意图如图8-1所示.

证法2 用分析法来证.仅证b=f（a）的情形.

因为f（x）在[0，a]上单调递增且连续，故其反函数x=g（y）在[0，b]上单调递增且连续.将区间[0，a]n等分，

T： 0=x₀<x₁<x₂<…<x_n=a，

相应地点y_i=f（x_i）（i=0，1，…，n）构成区间[0，b]的一个分割

T′： 0=y₀<y₁<y₂<…<y_n=b.

因为f（x）在[0，a]上连续，所以它在[0，a]上一致连续，故当n→∞，即‖T‖→0时，有

于是，由定积分的定义，得

至于b>f（a）与b<f（a）的情形用与证法1相同的思路.

图 8-1

简单推论 设f（x）在[0，+∞）上严格单增且连续，f（0）=0，a，b≥0，证明：

ab≤af（a）+bf^-1（b）.

下面给出杨格不等式的两个应用.

例8.6 设a，b>0，p>1，，证明：

证明 因为p>1，所以f（x）=x^p-1在[0，+∞）上严格单增且连续，其反函数为由杨格不等式，有

另外，若令，求出Φ（b）的最小值点，利用最值法也可证该不等式.

类题1 设a，b>0，p>1，，证明：

提示 在例8.6中，将a换成，b换成或在杨格不等式中取f（x）=x^p-1，此时g（y）=y^q-1，并将a换成，b换成即可.

类题2 设a，b>0，p>1，，证明：∀ε>0，有

例8.7 设a，b≥1，证明不等式：

ab≤e^a-1+blnb.

证明 取f（x）=e^x-1，则f（x）在[0，+∞）上严格单增且连续，其反函数g（y）=ln（1+y）.利用杨格不等式，可得

即

ab≤e^a-1+blnb.

例8.8 赫尔德（Hölder）不等式 设f（x），g（x）在[α，β]上可积，p，q>1且，则

当p=q=2时，该不等式即为施瓦茨不等式.

证明 先设f，g是[α，β]上的非负可积函数.

如果与之一为零，不妨设，则此时赫尔德不等式右边为零，我们将证明左边也为零.

事实上，设0≤f（x），g（x）≤M，x∈[α，β].由可积性条件，∀ε>0，η>0，存在[α，β]的分割T，使得分割T中满足f^p（x）≥ε^p的区间长度之和不超过η.并且当分割细度充分小时，有

故

如果，，则令

显然a，b≥0.由例8.6的不等式，有

对上式两边从α到β积分，并注意到可得结论.

当f，g变号时，由不等式，利用已证得的结论可知赫尔德不等式也成立.

注8.2 赫尔德不等式的离散形式：设a_k，b_k（k=1，2，…，n）是两组正实数，p，q>1，且，则

当p=q=2时，上述不等式就是柯西-施瓦茨不等式.

例8.9 试证明：

证明 令，则

于是原不等式左边变为