例8.1 平均值不等式 对任意n个正数a1,a2,…,an,有
当且仅当a1,a2,…,an都相等时,等号成立.
简单地说,调和平均值≤几何平均值≤算术平均值.
证明 先证明右边的不等式成立.用数学归纳法.
当n=1,2时,不等式显然成立.
当n=2k(k∈N+)时,不等式是的直接推论.
当n≠2k时,取l∈N+,使2l-1<n<2l.记
在a1,a2,…,an后面加上(2l-n)个,将其扩充成2l个正数.对这个2l个正数应用已证得的不等式,可得
即
对使用上面的结论,便可得左边的不等式.
这个不等式也可用lnx在(0,+∞)上的凸性来证明.
例8.2 设f1,f2,…,fn为[0,1]上的非负连续函数.求证:存在ξ∈[0,1],使得
证明 记
若有某个ak=0,则结论显然成立.
设ak>0(k=1,2,…,n).由平均值不等式,有
再由积分中值定理,存在ξ∈[0,1],使得
结论得证.
例8.3 施瓦茨(Schwarz)不等式 设f(x),g(x)在[a,b]上可积,则
证明 设,对任意实数λ则有
即
由实数λ的任意性,故其判别式Δ≤0,即
若与同时为零,则由不等式
可知,
此时不等式变成等式,当然成立.
注8.1 这个不等式也称柯西-施瓦茨不等式.它的离散形式是
利用例8.3可很快捷地证明下面的结论.
类题1 设f(x)在[a,b]上可积,则
(2)当f(x)>0时,有
提示
若f(x)在[a,b]上连续,也可用二重积分来证明.
其中D=[a,b]×[a,b].
类题2 已知f(x)≥0在[a,b]上连续,,k为任意实数,证明:
(中国科大).
类题3 设f(x)在[a,b]上连续可导,f(a)=f(b)=0,,证明:
提示 由施瓦茨不等式
然后分部积分即可.
例8.4 设f(x)在[a,b]上有连续的导函数,f(a)=0,证明:
证明 令,则g′(x)=f′(x).由f(a)=0可知,
于是有
例8.5 杨格(W.H.Young)不等式 设y=f(x)是[0,+∞)上的严格单调递增的连续函数,f(0)=0,x=g(y)是它的反函数,a,b≥0,则(www.xing528.com)
证法1 利用几何直观来证.若ab=0,则不等式显然成立.
不妨设a,b>0,分三种情形证明:
(1)若b=f(a),则显然有
(2)若b>f(a),记f(a)=c,则0<c<b,且有
(3)若b<f(a),此时a>g(b),类似于(2)可证.
杨格不等式的几何示意图如图8-1所示.
证法2 用分析法来证.仅证b=f(a)的情形.
因为f(x)在[0,a]上单调递增且连续,故其反函数x=g(y)在[0,b]上单调递增且连续.将区间[0,a]n等分,
T: 0=x0<x1<x2<…<xn=a,
相应地点yi=f(xi)(i=0,1,…,n)构成区间[0,b]的一个分割
T′: 0=y0<y1<y2<…<yn=b.
因为f(x)在[0,a]上连续,所以它在[0,a]上一致连续,故当n→∞,即‖T‖→0时,有
于是,由定积分的定义,得
至于b>f(a)与b<f(a)的情形用与证法1相同的思路.
图 8-1
简单推论 设f(x)在[0,+∞)上严格单增且连续,f(0)=0,a,b≥0,证明:
ab≤af(a)+bf-1(b).
下面给出杨格不等式的两个应用.
例8.6 设a,b>0,p>1,,证明:
证明 因为p>1,所以f(x)=xp-1在[0,+∞)上严格单增且连续,其反函数为由杨格不等式,有
另外,若令,求出Φ(b)的最小值点,利用最值法也可证该不等式.
类题1 设a,b>0,p>1,,证明:
提示 在例8.6中,将a换成,b换成或在杨格不等式中取f(x)=xp-1,此时g(y)=yq-1,并将a换成,b换成即可.
类题2 设a,b>0,p>1,,证明:∀ε>0,有
例8.7 设a,b≥1,证明不等式:
ab≤ea-1+blnb.
证明 取f(x)=ex-1,则f(x)在[0,+∞)上严格单增且连续,其反函数g(y)=ln(1+y).利用杨格不等式,可得
即
ab≤ea-1+blnb.
例8.8 赫尔德(Hölder)不等式 设f(x),g(x)在[α,β]上可积,p,q>1且,则
当p=q=2时,该不等式即为施瓦茨不等式.
证明 先设f,g是[α,β]上的非负可积函数.
如果与之一为零,不妨设,则此时赫尔德不等式右边为零,我们将证明左边也为零.
事实上,设0≤f(x),g(x)≤M,x∈[α,β].由可积性条件,∀ε>0,η>0,存在[α,β]的分割T,使得分割T中满足fp(x)≥εp的区间长度之和不超过η.并且当分割细度充分小时,有
故
如果,,则令
显然a,b≥0.由例8.6的不等式,有
对上式两边从α到β积分,并注意到可得结论.
当f,g变号时,由不等式,利用已证得的结论可知赫尔德不等式也成立.
注8.2 赫尔德不等式的离散形式:设ak,bk(k=1,2,…,n)是两组正实数,p,q>1,且,则
当p=q=2时,上述不等式就是柯西-施瓦茨不等式.
例8.9 试证明:
证明 令,则
于是原不等式左边变为
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