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斯托克斯公式及应用-考研数学分析总复习:精选名校真题

时间:2023-10-19 理论教育 版权反馈
【摘要】:斯托克斯公式是将空间曲面上的第二型曲面积分与该曲面边界上的第二型曲线积分之间建立联系的重要公式.设Σ是空间分片光滑曲面,Σ的边界L由分段光滑曲线组成.又设P,Q,R在上具有一阶连续偏导数,则其中L的方向与Σ的方向符合右手法则.或其中cosα,cosβ,cosγ是Σ的法向量的方向余弦.若Σ是xy平面上的区域,则上两式就变成了格林公式.由斯托克斯公式很容易推出R3中的曲线积分与路径无关的条件:设Σ是R

斯托克斯公式及应用-考研数学分析总复习:精选名校真题

斯托克斯公式是将空间曲面上的第二型曲面积分与该曲面边界上的第二型曲线积分之间建立联系的重要公式.

Σ是空间分片光滑曲面,Σ的边界L由分段光滑曲线组成.又设PQR978-7-111-46233-0-Chapter07-671.jpg上具有一阶连续偏导数,则

978-7-111-46233-0-Chapter07-672.jpg

其中L的方向与Σ的方向符合右手法则.

978-7-111-46233-0-Chapter07-673.jpg

其中cosα,cosβ,cosγΣ的法向量的方向余弦.

Σxy平面上的区域,则上两式就变成了格林公式.

由斯托克斯公式很容易推出R3中的曲线积分与路径无关的条件ΣR3中的曲面单连通区域,u=Pdx+Qdy+Rdz,其中PQRΣ内有连续偏导数,则下列结论等价:

(1)对Σ内任一闭曲线C,有978-7-111-46233-0-Chapter07-674.jpg

(2)对Σ内任一路径C978-7-111-46233-0-Chapter07-675.jpg仅与C的起点、终点有关,而与所走的路径无关;

(3)在Σ内成立

978-7-111-46233-0-Chapter07-676.jpg

(4)存在函数Wxyz),使得在Σ内成立

dW=Pdx+Qdy+Rdz

978-7-111-46233-0-Chapter07-677.jpg

7.61 选择题:设Sx2+y2+z2=a2z≥0),S1S在第一卦限中的部分,则有( )(数学Ⅱ).

978-7-111-46233-0-Chapter07-678.jpg

解 因为曲面S关于yOzzOx平面对称,所以由对称性定理有

978-7-111-46233-0-Chapter07-679.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter07-680.jpg

故应选(C).

7.62 设S椭圆978-7-111-46233-0-Chapter07-681.jpg的上半部分,点Pxyz)∈SΠS在点P的切平面,ρxyz)为点O(0,0,0)到平面Π的距离,求978-7-111-46233-0-Chapter07-682.jpg(数学Ⅱ).

解 设(XYZ)为Π上任意一点,则Π的方程为

978-7-111-46233-0-Chapter07-683.jpg

由此易知

978-7-111-46233-0-Chapter07-684.jpg

S的方程978-7-111-46233-0-Chapter07-685.jpg有,

978-7-111-46233-0-Chapter07-686.jpg

于是

978-7-111-46233-0-Chapter07-687.jpg

其中Dxyx2+y2≤2是SxOy平面上的投影.

极坐标变换容易求出:

978-7-111-46233-0-Chapter07-688.jpg

7.63 计算曲面积分978-7-111-46233-0-Chapter07-689.jpg,其中

978-7-111-46233-0-Chapter07-690.jpg

S是球面x2+y2+z2=1.

解 将球面S分成三部分S1S2S3,其中

978-7-111-46233-0-Chapter07-691.jpg

此时

978-7-111-46233-0-Chapter07-692.jpg

曲面S1xOy平面的投影区域为978-7-111-46233-0-Chapter07-693.jpg的方程为z=978-7-111-46233-0-Chapter07-694.jpg,故有

978-7-111-46233-0-Chapter07-695.jpg

从而

978-7-111-46233-0-Chapter07-696.jpg

类题 计算积分

978-7-111-46233-0-Chapter07-697.jpg

其中 Sx2+y2+z2=t2

978-7-111-46233-0-Chapter07-698.jpg

答案:978-7-111-46233-0-Chapter07-699.jpg

7.64 计算积分

978-7-111-46233-0-Chapter07-700.jpg

其中 Sx+y+z=t

978-7-111-46233-0-Chapter07-701.jpg

分析 首先必须搞清楚:t取何值时,f≠0;t又取何值时,f=0.也就是说,t取何值时平面S与球有交;t取何值时平面S与球无交.

解 将z=t-x-y代入x2+y2+z2≤1整理可得:

978-7-111-46233-0-Chapter07-702.jpg

由此可知,当978-7-111-46233-0-Chapter07-703.jpg时,平面S在球x2+y2+z2=1内;当978-7-111-46233-0-Chapter07-704.jpg时,平面S在球x2+y2+z2=1之外,所以

978-7-111-46233-0-Chapter07-705.jpg

显然当t>3时,Ft=0,所以只需计算t≤3时的积分:

978-7-111-46233-0-Chapter07-706.jpg

其中D是式(1)所表示的区域.作变换

978-7-111-46233-0-Chapter07-707.jpg

D变为D′u2+v2ρ2,其中978-7-111-46233-0-Chapter07-708.jpg.于是

978-7-111-46233-0-Chapter07-709.jpg

对式(3)右边进一步计算得

978-7-111-46233-0-Chapter07-710.jpg

所以

978-7-111-46233-0-Chapter07-711.jpg

7.65 计算积分978-7-111-46233-0-Chapter07-712.jpg,其中S为柱体x2+y2ax被球体x2+y2+z2a2截取部分的表面积.

解 用S1表示S在第一卦限部分,用S11S12分别表示S1柱面和球面部分.由对称性,有

978-7-111-46233-0-Chapter07-713.jpg

球面与柱面的交线方程为

978-7-111-46233-0-Chapter07-714.jpg

从中消去y,可得S11xOz平面上的投影区域978-7-111-46233-0-Chapter07-715.jpg,0≤xa.S11的方程978-7-111-46233-0-Chapter07-716.jpg可得

978-7-111-46233-0-Chapter07-717.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter07-718.jpg

S12xOy平面上的投影区域Dxyx2+y2axy≥0.

S12方程为978-7-111-46233-0-Chapter07-719.jpg可得

978-7-111-46233-0-Chapter07-720.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter07-721.jpg

从而

978-7-111-46233-0-Chapter07-722.jpg

类题 计算积分978-7-111-46233-0-Chapter07-723.jpg,其中

(1)Sx+y+z=1;

(2)S抛物面z=x2+y2z=1割下的部分.

答案:(1)978-7-111-46233-0-Chapter07-724.jpg;(2)978-7-111-46233-0-Chapter07-725.jpg

7.66 设曲面S由方程(x2+y2+z2)2=x2-y2所确定,求曲面S的面积.

解 在球坐标变换:x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=rcosφ之下,曲面S的方程是r2=sin2φcos2θ,其参数方程

978-7-111-46233-0-Chapter07-726.jpg

通过计算易知,

978-7-111-46233-0-Chapter07-727.jpg

由此得

EG-F2=sin4φ.

由曲面的对称性,只需求第一卦限部分的面积即可.而此时978-7-111-46233-0-Chapter07-728.jpg,并且由曲面方程知cos2θ≥0,所以978-7-111-46233-0-Chapter07-729.jpg.S的面积为

978-7-111-46233-0-Chapter07-730.jpg

7.67 证明泊松(Poisson)公式

978-7-111-46233-0-Chapter07-731.jpg

其中S是球面x2+y2+z2=1(南开;川大).

证明 若a=b=c=0,则结论显然成立.

abc不全为零,记978-7-111-46233-0-Chapter07-732.jpg把单位向量978-7-111-46233-0-Chapter07-733.jpg扩充成正交阵

978-7-111-46233-0-Chapter07-734.jpg

正交变换

978-7-111-46233-0-Chapter07-735.jpg

则变换的雅可比行列式

978-7-111-46233-0-Chapter07-736.jpg

球面S变成了球面S′u2+v2+w2=1,即

978-7-111-46233-0-Chapter07-737.jpg

对球面S′上的积分作变换:

978-7-111-46233-0-Chapter07-738.jpg

-1≤u≤1, 0≤θ≤2π.

通过计算可知,978-7-111-46233-0-Chapter07-739.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter07-740.jpg

由式(1)知,结论成立.

7.11 本例证明过程中的式(1),实际上告诉我们了一个结论:第一类曲面积分在正交变换下具有不变性,即

978-7-111-46233-0-Chapter07-741.jpg

其中978-7-111-46233-0-Chapter07-742.jpg是正交阵,满足U=AX,A是A的转换,曲面S′是曲面S在正交变换下的像.

关于这个一般性结论的证明:先将曲面S表示为参数形式,然后通过正交变换写出S′的参数形式,最后将式(2)两端都化成关于参数的重积分,易见两者相等.

另外,本例的结果在球坐标之下通常写成如下形式:设fx)连续,则成立

978-7-111-46233-0-Chapter07-743.jpg

类题1 试证:

978-7-111-46233-0-Chapter07-744.jpg

其中m2+n2+p2=1,mnp为常数.ft)在t≤1上连续可微,978-7-111-46233-0-Chapter07-745.jpg978-7-111-46233-0-Chapter07-746.jpgS表示半径为1,球心在原点的球面(东北工学院).

提示 应用泊松公式,有(www.xing528.com)

978-7-111-46233-0-Chapter07-747.jpg

分部积分可知,

978-7-111-46233-0-Chapter07-748.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter07-749.jpg

从而原结论成立.

类题2 设fx)在978-7-111-46233-0-Chapter07-750.jpg上连续,证明

978-7-111-46233-0-Chapter07-751.jpg

其中Vx2+y2+z2≤1(广西大学).

提示 对等式左边作球坐标变换,有

978-7-111-46233-0-Chapter07-752.jpg

7.68 计算曲面积分978-7-111-46233-0-Chapter07-753.jpg,其中S是曲面x2+y2=R2及两个平面z=Rz=-RR>0)所围的立体的表面的外侧(数学Ⅰ,Ⅱ).

解 设S1S2S3分别为S的上、下底面和圆柱侧面,则

978-7-111-46233-0-Chapter07-754.jpg

S1S2xOy平面上的投影区域为Dxy,则

978-7-111-46233-0-Chapter07-755.jpg

S3上,978-7-111-46233-0-Chapter07-756.jpg

S3yOz平面上的投影区域Dyz-RyR-RzR,故

978-7-111-46233-0-Chapter07-757.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter07-758.jpg

从而曲面积分978-7-111-46233-0-Chapter07-759.jpg

7.12 虽然S是一个封闭曲面,但被积函数在原点处有奇性,因此不能使用高斯公式.这个题目看起来复杂,但仔细观察积分曲面和被积函数的特点会立即发现,有五个积分都是零,需要我们计算的实际上只有一个积分.

7.69 计算曲面积分978-7-111-46233-0-Chapter07-760.jpg,其中S为下半球面978-7-111-46233-0-Chapter07-761.jpg的上侧,a>0为常数(数学Ⅰ).

解 采用补面法.按常规应补平面S1x2+y2a2z=0.仔细观察发现被积函数在原点处有奇性,不能直接应用高斯公式,但注意到在下半球面上的点(xyz)满足x2+y2+z2=a2,则可将原曲面积分改写成

978-7-111-46233-0-Chapter07-762.jpg

这样,取S1的法向方向与z轴正向相反,就可对上式使用高斯公式了.于是有

978-7-111-46233-0-Chapter07-763.jpg

其中VS1S所围的空间区域.故

978-7-111-46233-0-Chapter07-764.jpg

类题 计算978-7-111-46233-0-Chapter07-765.jpg,其中Sz=1-x2-y2,(z≥0)的上侧(数学Ⅰ).

提示 补面S1x2+y2≤1,z=0,方向取下侧.用高斯公式易知I=-π.

7.70 计算曲面积分978-7-111-46233-0-Chapter07-766.jpg,其中S为有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1),其法向量与z轴正向的夹角为锐角(数学Ⅰ,Ⅱ).

解法1(用高斯公式求解).用S1表示法向量指向z轴负方向的有向平面z=1(x2+y2≤1),Dxy表示S1xOy平面上的投影区域,即

Dxyx2+y2≤1.

于是

978-7-111-46233-0-Chapter07-767.jpg

ΩSS1所围成的空间区域,则由高斯公式有

978-7-111-46233-0-Chapter07-768.jpg

解法2 (用两类曲面积分的关系求解) 用Dxy表示SxOy平面上的投影区域.曲面z=x2+y2的法向量为978-7-111-46233-0-Chapter07-769.jpg,所以

978-7-111-46233-0-Chapter07-770.jpg

于是

978-7-111-46233-0-Chapter07-771.jpg

另外,这个题也可直接求解.

7.71 求978-7-111-46233-0-Chapter07-772.jpg,其中S是球面x2+y2+z2=a2(x≥0,y≥0,z≥0)的第一卦限部分,取外侧.

解 球面在点(xyz)处的法向量为978-7-111-46233-0-Chapter07-773.jpg,由两类曲面积分的关系,有

978-7-111-46233-0-Chapter07-774.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter07-775.jpg

其中Dxyx2+y2a2x≥0,y≥0.作极坐标变换,有

978-7-111-46233-0-Chapter07-776.jpg

7.72 计算曲线积分

978-7-111-46233-0-Chapter07-777.jpg

Lx2+y2+z2=2r1xx2+y2=2r2x的交线(0<r2<r1z>0),L的方向是使L所围的球面上较小部分区域保持在左边.

解 由于球面的外法向的方向余弦为

978-7-111-46233-0-Chapter07-778.jpg

所以由斯托克斯公式,有

978-7-111-46233-0-Chapter07-779.jpg

其中S是球面x2+y2+z2=2r1xL所围的部分.

由于曲面S关于xOz平面对称,所以978-7-111-46233-0-Chapter07-780.jpg又由

978-7-111-46233-0-Chapter07-781.jpg

可知,

I=r1r22.

7.13 本例亦可用参数方程求解,但非常复杂.具体说来,先将L用参数方程表示:

978-7-111-46233-0-Chapter07-782.jpg

则有

978-7-111-46233-0-Chapter07-783.jpg

有兴趣的同学可以尝试一下,完成本题.

7.73 计算曲面积分

978-7-111-46233-0-Chapter07-784.jpg

S是闭曲面∣x-y+z+y-z+x+z-x+y=1,方向取外侧.

解 由高斯公式,可得

978-7-111-46233-0-Chapter07-785.jpg

其中Ω是由闭曲面S所围的空间区域.

作变换:u=x-y+zv=y-z+xw=z-x+y,则

978-7-111-46233-0-Chapter07-786.jpg

区域Ω变成Ω′:∣u+v+w∣≤1.由对称性,有

978-7-111-46233-0-Chapter07-787.jpg

类题 计算曲面积分

978-7-111-46233-0-Chapter07-788.jpg

其中S是曲面∣x-y+z+y-z+x+z-x+y=1的外表面(武大).

答案 I=2.

7.74 计算第二型曲面积分

978-7-111-46233-0-Chapter07-789.jpg

其中fxyz)为连续函数,Σ是平面x-y+z=1在第四卦限部分,方向取上侧.

分析 即使补充三个坐标平面使之与Σ一起构成封闭曲面,但由于f的光滑性不够,我们仍然无法使用高斯公式.下面采用所谓的“归一化”方法,将“未知”的f消去.

解 设曲面Σ的单位法向量为(cosα,cosβ,cosγ),则dydz=cosαdS,dzdx=cosβdS,dxdy=cosγdS.由此可得978-7-111-46233-0-Chapter07-790.jpg

具体到本例,978-7-111-46233-0-Chapter07-791.jpg因而dydz=dxdy,dzdx=-dxdy.于是

978-7-111-46233-0-Chapter07-792.jpg

其中Dxy={(xy)0≤x≤1+y-1≤y≤0}是曲面ΣxOy平面的投影.

7.75 计算曲面积分

978-7-111-46233-0-Chapter07-793.jpg

其中S是由下面参数方程所给出的曲面

978-7-111-46233-0-Chapter07-794.jpg

方向取外侧(式中θφ为参数,0≤θ≤2π,0≤φ≤2π,ab为常数,a>b>0)(复旦大学).

解 计算易知

A=-ba+bcosθ)cosθcosφ, B=-ba+bcosθ)cosθsinφ

C=-bsinθsinφa+bcosθ)(cosφ+sinφ.

由此可以看出向量(ABC)与S的外法向方向相反(例如,考察第一卦限曲面S上任一点处的C值发现C<0,而在该点处的外法向的方向余弦cosγ>0,所以向量(ABC)与S的外法向方向相反),故将I化成关于θφ的积分后前面取“-”号,即

978-7-111-46233-0-Chapter07-795.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter07-796.jpg

7.76 计算曲线积分

978-7-111-46233-0-Chapter07-797.jpg

其中A(0,0,0),B(1,1,1).

解 记P=x2+y+zQ=y2+x+zR=z2+x+y.易见,

978-7-111-46233-0-Chapter07-798.jpg

由此知,积分与路径无关.

978-7-111-46233-0-Chapter07-799.jpg

可知,原函数978-7-111-46233-0-Chapter07-800.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter07-801.jpg

7.77 设函数φy)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分

978-7-111-46233-0-Chapter07-802.jpg

的值恒为同一常数.

(1)证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有

978-7-111-46233-0-Chapter07-803.jpg

(2)求φy)的表达式.

978-7-111-46233-0-Chapter07-804.jpg

图7-7 例7.77图

证明(1)如图7-7所示,设Cx>0内的任一分段光滑简单闭曲线.C上任取两点MN,作围绕原点的闭曲线978-7-111-46233-0-Chapter07-805.jpg同时得到了另一条围绕原点的闭曲线978-7-111-46233-0-Chapter07-806.jpg由已知条件,有

978-7-111-46233-0-Chapter07-807.jpg

于是

978-7-111-46233-0-Chapter07-808.jpg

解 (2)记978-7-111-46233-0-Chapter07-809.jpg,则PQx>0上的单连通区域内有一阶连续编导数,且对任意分段光滑简单闭曲线C,有978-7-111-46233-0-Chapter07-810.jpg0.它的等价条件是978-7-111-46233-0-Chapter07-811.jpg,即

978-7-111-46233-0-Chapter07-812.jpg

比较上式两边可得

978-7-111-46233-0-Chapter07-813.jpg

由式(1)得,φy)=-y2+c.将其代入式(2)可得c=0,从而φy)=-y2.

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