含参变量广义积分的一致收敛判定规则

含参变量无穷积分与函数项级数都是对函数的求“和”问题，前者是连续的求和，后者是离散的求和.因此，它们的一致收敛定义及判别法和各种性质都是平行的，希望同学们将其作以比较.

（1）含参变量无穷积分在I上一致收敛是指：∀ε>0，∃A₀>a，∀A>A₀，∀x∈I，有

在I上不一致收敛是指：∃ε₀>0，∀A>a，∃A′>A，∃x′∈I，使得

命题7.1　含参变量广义积分在I上一致收敛的充要条件是，其中

（2）判定含参变量广义积分一致收敛的判别法

1）柯西收敛准则；2）M判别法（优函数判别法）；3）阿贝尔判别法（简称A_-法）；4）狄利克莱判别法（简称D-法）；

5）狄尼定理：设f（x，y）在D=[α，β]×[a，+∞）上连续且不变号，在[α，β]上连续，则在[α，β]上一致收敛.

（3）判断含参变量广义积分不一致收敛常用的方法：1）按定义；2）按柯西准则，即∃ε₀>0，∀A>a，∃A′，A″>A及x′∈I，使得

3）若f（x，y）在I×[a，+∞）上连续，x₀是I的一个聚点，在I\{x₀}上收敛，但发散，则在I上不一致收敛（用反证法，结合柯西准则易证）；

4）狄尼定理，即f（x，y）在D=[α，β]×[a，+∞）上连续，在[α，β]上存在但不连续，则在[α，β]上不一致收敛.

（4）含参变量积分的分析性质

1）连续性　设f（x，y）在D=[α，β]×[a，+∞）上连续，且在[α，β]上一致收敛于φ（x），则φ（x）在[α，β]上连续，即∀x₀∈[α，β]，有

2）可微性　设f（x，y），f_x（x，y）在D上连续，而在[α，β]上收敛于在[α，β]上一致收敛，则φ（x）在[α，β]上可微，且

3）积分可交换性　在连续性定理的条件下，φ（x）在[α，β]上可积，且

对于[α，+∞）×[a，+∞）的情形，有：若f（x，y）在[α，+∞）×[a，+∞）上连续，而

分别在任意有限区间[α，β]与[a，b]上一致收敛.又积分

中至少有一个存在，则积分

都存在且两者相等.

对无界函数的含参变量积分也有类似的结果.

例7.6　证明：在[α₀，+∞）（α₀>0）上一致收敛；2）在（0，+∞）上不一致收敛（南开）.

证明　当α>0时，令αx=u，则∀A>0，有

1）显然，且由命题7.1知，在[α₀，+∞）上一致收敛.

2）显然，故由命题7.1知，在（0，+∞）上不一致收敛

类题　试证广义积分在区间0<a≤y≤b内一致收敛，而在区间0≤y≤b内非一致收敛（中科院）.

例7.7　证明：积分在（0+∞）上不一致收敛.

证明　∀A>1，有界，而当λ>0时，x^-λ单调趋向于0（关于x），所以由狄利克雷判别法知，积分收敛.

但对适当大的自然数n，有

故对任意大的自然数n，都存在λ>0，使上式不小于1.由柯西准则知，积分在（0，+∞）上不一致收敛.

类题　证明关于y在[a，+∞）（a>0）上一致收敛，但在（0，+∞）上不一致收敛.

提示　1）用D-法；

2）用柯西准则.取A′=nπ，，，n∈N₊，考察

例7.8　证明：关于p在（-1，1）上内闭一致收敛.

证明　只要证明：∀[p₀，p₁]⊂（-1，1），积分在[p₀，p₁]上都一致收敛即可.

由于x=0是奇点，所以需要将积分分开：

对I₁而言，注意到

由于p₁<1，所以收敛.这样，由M判别法知，I₁在[p₀，p₁]上一致收敛.

对I₂而言，作变换t=x²，则

由于∀A>1，一致有界.而

注意到p₀+1>0，所以当t→+∞时，，从而关于p一致地趋向于0.由D-法知，I₂在[p₀，p₁]上一致收敛.

综上可知，所论积分在（-1，1）上内闭一致收敛.

例7.9　证明：对α∈[0，b]（0<b<1）一致收敛.

证明　这个积分有无穷多个奇点，所以需要将这个积分写成级数形式.

对I₁而言，t=0为奇点.由及的收敛性知，I1在[0，b]上一致收敛.

对I₂而言，t=π为奇点.由及的收敛性知，I2在[0，b]上一致收敛.

综上知，I（α）在[0，b]上一致收敛.

例7.10　讨论函数

的连续区间.

解　先确定I（α）的定义域，即积分的收敛范围.

显然，x=0，x=+∞是可能的奇点.

当x→0时，，由此可见，当α-1<1，即α<2时，积分收敛.

当x→+∞时，，由此可见，当α+3>1，即α>-2时，积分收敛.

综合起来可知，I（α）的定义域为（-2，2）.

下面将证明I（α）在（-2，2）上连续.为此只需证明I（α）在（-2，2）上内闭一致收敛，即∀[a，b]⊂（-2，2），I（α）在[a，b]上一致收敛即可.

当x∈（0，1）时，对α≤b<2，存在正常数C>0，使得

注意到收敛，故由M判别法知，积分在（-∞，b]上一致收敛.

当x∈[1，+∞）时，对-2<a≤α，有

由收敛，利用M判别法知，积分在[a，+∞）上一致收敛.综合起来，即知I（α）在[a，b]上一致收敛，从而I（α）在（-2，2）上连续.

例7.11 设

证明：1）F（a）在[0，+∞）上连续；2）F（a）在（0，+∞）上可导；3）求F（a）.

证明 由于，所以t=0不是奇点.

1） 令

则f（t，a）在[0，+∞）×[0，+∞）上连续.若记

则由注7.1知，F₁在[0，+∞）上连续.而对F₂，由b≠0知，关于a∈[0，+∞）一致收敛（至于它的收敛性可用D-法证明，因为它与a无关，所以这种收敛关于a是一致的），又1-e^-at关于t单调且|1-e^-at|≤2一致有界，故由A-法知，F₂在[0，+∞）上一致收敛，从而在[0，+∞）上连续.综上知，F（a）在[0，+∞）上连续.

2）由f_a（t，a）=e^-atcosbt，t≥0，a≥0知，f（t，a）与f_a（t，a）都在[0，+∞）×[0，+∞）上连续，且∀ε>0，当a≥ε时，有

∣f_a（t，a）∣≤e^-at≤e^-εt，t∈[0，+∞）.

由的收敛性，利用M判别法可知，关于a∈[ε，+∞）一致收敛.于是F（a）在[ε，+∞）上可导，由ε的任意性知F（a）在（0，+∞）上可导，且

3）分部积分可得：

注意到F（0）=0，对上式两边关于a积分可得：

例7.12 设

1）求g′（α）（北师大）；

2）计算g（α）（河南师大）.

解 1）x=1和x=+∞为奇点.记

则

显然f（x，α）与f_α（x，α）均在（1，+∞）×（-∞，+∞）上连续.

对积分，当x→1⁺时，f；当x→+∞时，由此可知，g（α）在（-∞，+∞）上收敛.

对积分由

及的收敛性，利用M判别法可知，在（-∞，+∞）上关于α一致收敛.于是，由可微性定理，有

2）因为g（α）=-g（-α），所以g（α）是关于α的奇函数，因此只需考虑α≥0的情形即可.此时，

注意到g（0）=0，于是当α≥0时，有

故(www.xing528.com)

例7.13 1）计算狄利克雷积分；

2）计算.

解 引入收敛因子e^-αx（α≥0），即令

因为，所以x=0，x=+∞不是奇点.记

则

f_α（x，α）=-e^-αxsinx.

显然f（x，α），f_α（x，α）都在[0，+∞）×[0，+∞）上连续，由A-法易知，积分收敛（实际上关于α∈[0，+∞）是一致收敛的）.再由

f_α（x，α）=e^-αxsinx≤e^-αx， α>0知，积分在（0，+∞）上内闭一致收敛.故由可微性定理，有

两边关于α积分可得

I（α）=-arctanα+C， α>0.（1）

注意到

在式（1）中令α→+∞可得：.故

1）由于上连续，所以I（α）在[0，1]上连续，从而

2）在式（2）中，令α=1可得：

例7.14 设，其中α，β满足不等式

（1）讨论含参变量积分I（α，β）在区域上的一致收敛性；

（2）求I（α，β）在区域D上的最小值（南大）.

解 （1）记d（α，β）=α²+β².通过计算可知，d（α，β）在D上的最大值为于是，当（α，β）∈D时，有

由的收敛性，利用M判别法知I（α，β）在D上一致收敛.

（2）令，则，，

由此可见，欲求I（α，β）在D上的最小值，只需求d（α，β）在D上的最小值即可.显然d（α，β）在D内无驻点，因此在D内无最值.下面只需求圆周上的最小值即可.为此，令

让

解出驻点，λ=1和驻点，λ=-3.由此可知，d（α，β）的最小值为.这样就可得到I（α，β）在D上的最小值为

例7.15 求.

解 由及的收敛性知，g（α）在（-∞，+∞）上收敛.又由

及的收敛性知，积分在（-∞，+∞）上一致收敛.由可微性定理，有

即

解此常微分方程可得

例7.16 设a>0，b>0.试用含参变量积分的性质证明：

（天津大学）.

证法1 设，即视b为参变量.

由的收敛性知，I（b）在（0，+∞）上关于b一致收敛.

显然都在（0，+∞）×（0，+∞）上连续，且∀b₀>0，当b≥b₀时，有

而

收敛，由M判别法知关于b在[b₀，+∞）上一致收敛.故I（b）在（0，+∞）上可在积分号下求导，且

解此微分方程可得：，b>0.利用I（b）在[0，+∞）上连续可得

故

注7.3 以上两个例题均是通过解方程而求得的，这是处理含参变量广义积分常用的手段，请同学们注意领会.

对例7.17若不用含参变量积分的性质，而直接利用适当的变量替换来作更简单.

证法2 令，则

另一方面，

所以

即

例7.17 设函数f（t）在（0，+∞）上连续，如果积分在λ=a和λ=b时收敛（a<b），则在[a，b]上一致收敛（复旦）.

证明 由于，所以只要证明与都在[a，b]上一致收敛即可.

由收敛可知，∀ε>0，∃A₀≥1，当A₂>A₁>A₀时，有

于是，由第二积分中值定理，有

这表明在[a，b]上一致收敛.

同理，由的收敛性可证在[a，b]上一致收敛.

例7.18 设f（x）在[0，+∞）上可积，则

（东北工学院）.

证明 先证明在[0，η]上一致收敛.

事实上，由收敛（即关于y一致收敛）及e^-xy关于x单调（∀y∈[0，η]固定）且e^-xy≤1.根据A-法，在[0，η]上一致收敛.于是，∀ε>0，∃A₀>0，当A≥A₀时，∀y∈[0，η]有

特别地，有

由f（x）在[0，A₀]上可积可知，它在[0，A₀]上有界，即∃M>0，∀x∈[0，A₀]，有f（x）≤M.又因为，所以对上述ε>0，∃δ>0，当y∈（0，δ）时，∀x∈[0，A₀]，有

于是，∀ε>0，∃δ>0，当y∈（0，δ）时，有

即

下面看一个难度较大的题目.

例7.19 设y=f（x）在（-∞，+∞）上有定义，在任意有限区间[a，b]上有界并可积，且.又设α为一实常数证明：积分收敛且函数

连续 （北大）.

证明 （1）证明积分收敛.

∀t∈（-∞，+∞）（固定），将积分分开，

注意到，由施瓦茨不等式，有

而

由式（1）知，

即I₁收敛.

又因为

所以（绝对）收敛.

由已知条件，f（x）在有限区间[t-1，t+1]上可积，所以在[t-1，t+1]上可积，即I₂收敛.综上知积分收敛.

（2）证明φ（t）在（-∞，+∞）上连续.

欲证φ（t）在（-∞，+∞）上连续，只须证φ₁（t），φ₂（t）在（-∞，+∞）上连续.

显然，∀t₀∈（-∞，+∞），只须证φ₁（t），φ₂（t）在点t₀连续即可.

下证：φ₁（t）在点t₀连续，为此先证.

设t∈[t₀，t₀+1]及f（x）≤M₀，x∈[t₀-1，t₀+1]，考察

而

注意到不等式：a>b>0，有（a-b）²≤a²-b².利用施瓦茨不等式，有

综上可知，.用完全类似的方法可证，故φ₁（t）在t₀点连续.

同理可证φ₂（t）也在点t₀连续.从而φ（t）在点t₀连续.

注7.4 本例的条件不满足含参变量广义积分连续性定理的条件，因此我们只好改用连续函数定义加以证明.