考研数学分析总复习：含参变量正常积分定理

（1）连续性定理 设f（x，y）在闭区域D=[a，b]×[c，d]上连续，则

在[c，d]上连续.

（2）积分次序交换定理 设f（x，y）在闭区域D=[a，b]×[c，d]上连续，则

（3）可微性定理 设f（x，y），f_y（x，y）都在闭区域D=[a，b]×[c，d]上连续，则I（y）在[c，d]上可微，且在[c，d]上成立

又设a（y），b（y）在[c，d]上可微，满足a≤a（y）≤b，a≤b（y）≤b，则

在[c，d]上可微，且成立

注7.1 由于连续性和可微性刻画的都是函数的局部性质，所以将定理中闭区间[c，d]改为开区间（c，d）（c可以是-∞，d可以是+∞），相应地连续性定理和可微性定理的结论在（c，d）上仍成立.

但可积性刻画的是函数的整体性质，一般不能将闭区间改为开区间.例如，函数

在[0，1]×（0，1）上连续.易见

于是

类似地，有

这表明积分次序不能交换.

（4）求参变量积分常用的方法

如果直接求有困难，常用如下两种方法：

1）先求I′（y），即先求，然后再对y积分求出I（y）；

2）把f（x，y）表示为积分形式，然后再交换积分的次序.

例7.1　求极限.

解　这个题目在第五讲中我们曾经用狄尼定理做过（见例5.30），在这里我们将用连续性定理来求解.

将离散变量n改成连续变量，即令

显然，f（x，y）在[0，1]×[0，1]上连续，由连续性定理，有

例7.2　设f（x）在[0，1]上连续，研究函数

的连续性.

解　显然F（t）在（-∞，+∞）上有定义.记，∀t₀∈R且t₀≠0.由于h（x，t）在[0，1]×[t₀-δ，t₀+δ]（取δ>0适当小使0不属于[t₀-δ，t₀+δ]）上连续，所以根据连续性定理F（t）在点t₀处连续.

下面讨论F（t）在t₀=0处的连续性.先考虑

将积分分成两段来计算：(https://www.xing528.com)

而当t→0⁺时，

其中.因此，

同理可证

由此可见，仅当f（0）=0时，F（t）在0点连续，否则在0点不连续.

例7.3　设a>0，b>0，求

解　当x→1-和x→0+时，被积函数趋向于0，所以积分是正常积分.注意到

则原积分可写成

由于在[0，1]×[a，b]（设a<b）上连续，所以积分次序可交换，即

记，连续使用分部积分法可得

即

于是

例7.4　计算

解　记.因为，所以积分I为正常积分.若补充定义

则f（x，a）在上连续.而显然

也在上连续.由可微性定理，有

由于a=0时，I（a）=0，所以

当a≥0时，；当a<0时，

注7.2　从本例的求解过程可以看出，有时连续性条件并不满足，需要人为地补充个别点的定义，使之符合积分号下求导（求积分）的条件.

例7.5　设，证明：并由此计算

证明　由可微性定理，有

令xt=y，则或

f′（t）+g′（t）=0.

对上式两边从0到t积分可得

令t→+∞，有，　即