考研数学分析：隐函数存在定理与求偏导

1.隐函数存在定理：设二元函数F（x，y）满足下列条件：

（1）在矩形区域D={（x，y）x-x₀<a，y-y₀<b}内有一阶连续的偏导数；

（2）F（x₀，y₀）=0（初始条件）；

（3）F_y（x₀，y₀）≠0.则有：

1）在点（x₀，y₀）的某邻域内，由方程F（x，y）=0可以确定唯一的函数y=f（x）.即存在η>0，当x∈U（x₀，η）时，有

F（x，f（x））≡0，且y₀=f（x₀）；

2）f（x）在U（x₀，η）内连续；

3）f（x）在U（x₀，η）内有连续的导数，且

称y=f（x）为由方程F（x，y）=0所确定的隐函数.

注6.4　（1）隐函数存在定理告诉我们，在什么条件下由方程F（x，y）=0可以确定以x为自变量，y为因变量的函数.也就是通常说的可以从F（x，y）=0中解出y=f（x）.这里所说的“解出”并不是指可操作性，而是指存在性.例如，著名的开普勒（Kepler）方程

y-εsiny-x=0， 0<ε<1，

在点（0，0）的邻域内可以确定隐函数y=f（x），但我们并不能从开普勒方程中写出y的显式表达式.

（2）若只要求隐函数连续，则定理的条件（3）可减弱为：“F（x，y）对每一个x∈（x₀-a，x₀+a）关于y严格单调”.

（3）定理的结论是局部的，但在相当强的条件下，有下面整体存在的命题.

命题6.5　设F（x，y）在D={（x，y）∣a<x<b，-∞<y<+∞}中连续，F_y存在且F_y≥m>0，则F（x，y）=0在（a，b）内存在唯一连续解y=f（x）.

（4）关于定理的证明，一般有两种方法：一、几何方法——利用单调性和介值定理，具有很强的直观性；二、逐次逼近法——利用不动点原理，是所谓的“构造性”证明.

2.隐函数组存在定理：设

（1）F（x，y，u，v）和G（x，y，u，v）在点P₀（x₀，y₀，u₀，v₀）的某邻域内有一阶连续偏导数；

（2）F（x₀，y₀，u₀，v₀）=0，G（x₀，y₀，u₀，v₀）=0（初始条件）；

（3），则存在点P₀的一个邻域，在该邻域内由方程组

可以确定唯一一对函数

u=u（x，y），v=v（x，y），

满足F（x，y，u（x，y），v（x，y））≡0，G（x，y，u（x，y），v（x，y））≡0及u₀=u（x₀，y₀），v₀=v（x₀，y₀），且u，v关于x，y的偏导数连续.进而有

其中.

这里需要说明的是：隐函数（组）的求导公式，大家不必去死记硬背.在实际做题时，直接对方程（组）两边求偏导，然后解出所需要的偏导数即可.

3.反函数组存在定理：若

u=f（x，y），v=g（x，y）

在点（x₀，y₀）的某邻域内连续可微，u₀=f（x₀，y₀），v₀=g（x₀，y₀），且

则在（u₀，v₀）的某邻域内存在唯一的反函数组

x=x（u，v），y=y（u，v）

满足x₀=x（u₀，v₀），y₀=y（u₀，v₀）且成立

注6.5　反函数组存在定理是隐函数组存在定理的特殊情况.事实上，若令

F（x，y，u，v）=u-f（x，y），G（x，y，u，v）=v-g（x，y）.

对F，G利用隐函数组存在定理就可得到反函数组存在定理.

另外，利用隐函数存在定理也可推出反函数存在定理，请同学们自行完成.

例6.31　证明命题6.5.

证明　存在性.即证：∀x₀∈（a，b），∃y₀∈（-∞，+∞），使得F（x₀，y₀）=0.

事实上，∀y₂>y₁，考虑

固定y₁，令y₂➝+∞，由F（x₀，y₂）≥F（x₀，y₁）+m（y₂-y₁）知，

固定y₂，令y₁➝-∞，由F（x₀，y₁）≤F（x₀，y₂）-m（y₂-y₁）知，

由介值定理，∃y₀∈（-∞，+∞），使F（x₀，y₀）=0.

唯一性.由F_y≥m>0不难看出.

连续性.对x₀∈（a，b），∀ε>0，由F（x₀，y₀）=0及F_y>0可知，

F（x₀，f（x₀）-ε）<0<F（x₀，f（x₀）+ε）.

由F关于x连续性知，∃δ>0，当∣x-x₀∣<δ时，有

F（x，f（x₀）-ε）<0<F（x，f（x₀）+ε）.

由介值定理，有

∣f（x）-f（x₀）∣<ε，

即y=f（x）在点x₀连续.由x₀的任意性，y=f（x）在（a，b）上连续.

顺便指出，从证明的过程看，a，b分别取-∞和+∞也是可以的.

例6.32　设f（x，y）及其一阶偏导数在（0，1）附近存在、连续，且f_y（0，1）≠0，又f（0，1）=0.证明：

在点附近可确定一单值函数t=φ（x），并求φ′（0）（南京大学）.

解　令.

下面验证F（x，t）在附近满足隐函数存在定理的条件.

由F_x（x，y）=f_x（x，1-cost）和F_t（x，t）=f_y（x，1-cost）sint及f的一阶偏导数在（0，1）附近的连续性可知，F_x（x，t），F_t（x，t）在附近连续.

由知，初始条件满足.

而

于是，由隐函数存在定理，在附近由方程F（x，t）=f（x，1-cost）=0可以确定唯一的连续可微函数t=φ（x），满足

F（x，φ（x））≡0，

且

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类题　设f′（u）在u=1的某邻域内连续且不为零，证明：方程2f（xy）=f（x）+f（y）在（1，1）点的邻域内可以唯一确定一个隐函数y=y（x），并求y′（1）.

提示　令F（x，y）=2f（xy）-f（x）-f（y），对F（x，y）直接验证隐函数存在定理的条件.

例6.33　设u（x，y）是由方程组u=f（x，y，z，t），g（y，z，t）=0，h（z，t）=0确定的函数，其中f，g，h均连续可微，且，求.

解法1　由可知，由方程组

g（y，z，t）=0，h（z，t）=0（1）

可以确定以y为自变量，以z，t为因变量的函数，即z=z（y），t=t（y）.这样复合的层次如图6-5所示.

于是，由复合函数的微分法，有

为了求z′（y）和t′（y），在方程组（1）两边关于y求导，可得

图6-5　u（x，y）的复合层次

由此可得

代入式（2）得

解法2　直接从下面的方程组出发：

其中F（x，y，z，t，u）=u-f（x，y，z，t）.

因为，所以由方程组（3）可以确定以x，y为自变量，以u，z，t为因变量的函数.在方程组（3）两边关于y求导，可得

从这个方程组中解出u_y即可.

例6.34　在直角坐标系xOy中引入变换：

x=x（u，v），y=y（u，v），

并将坐标系中任一点的位置向量记为r=r（u，v）.若变换式中函数x，y连续可微，Jacobi行列式，且与垂直，试证：对任何可微函数F（u，v），其梯度可表示为

其中

（复旦大学）.

证明　要证明的结果是一个向量等式.下面我们通过耐心地计算说明两边相等.

记.由x=x（u，v），y=y（u，v）可得

解之可得

故

由r=x（u，v）i+y（u，v）j可得

因为与垂直，所以

即

故

例6.35　设函数f（x，y）在点（x₀，y₀）的邻域内二次连续可微，且f_x（x₀，y₀）=0，f_xx（x₀，y₀）>0.

（1）试证：存在y₀的δ邻域U（y₀，δ），使对任何y∈U（y₀，δ）能求得f（x，y）关于x的一个极小值g（y）；

（2）试证：g′（y₀）=f_y（x₀，y₀）（复旦）.

证明　（1）对给定的y，要求f（x，y）关于x的极小值，按照求极值的步骤，应对y找出x使得f_x（x，y）=0（即将y视为常数，对f（x，y）关于x求驻点）.也就是说，找由方程f_x（x，y）=0所确定的隐函数x=x（y），使得f_x（x（y），y）=0.

由已知条件，方程f_x（x，y）=0在点（x₀，y₀）的邻域内满足隐函数存在定理的全部条件，因此在点（x₀，y₀）的某个邻域内由方程f_x（x，y）=0可确定唯一的连续可微函数x=x（y）满足x₀=x（y₀），f_x（x（y），y）≡0.又由f_xx（x₀，y₀）>0及其连续性知，存在充分小的δ>0，使当y∈U（y₀，δ）时，f_xx（x（y），y）>0.这表明f（x，y）关于x在点（x（y），y）处取得极小值，记为g（y），即

g（y）=f（x（y），y）.

（2）由定义及f在点（x₀，y₀）的可微性，有

其中Δx=x（y₀+Δy）-x（y₀），（因为x=x（y）在y₀的小邻域内连续，所以当Δy➝0时，Δx➝0，因此o（ρ）是有意义的）.

注意到f_x（x₀，y₀）=0及

有界，由式（1）可知，

g′（y₀）=f_y（x₀，y₀）.

例6.36　设F（x，y，z）在R³中有连续的一阶偏导数，并满足

证明：当动点（x，y，z）沿着曲线Γ：x=-cost，y=sint，z=t（t≥0）趋向无穷时，F（x，y，z）➝+∞.

证明　记f（t）=F（-cost，sint，t），则

当（x，y，z）∈Γ时，有因此，根据微分中值定理，有

F（x，y，z）-F（-1，0，0）=f（t）-f（0）=f′（ξ）t≥αt，

即

F（x，y，z）≥F（-1，0，0）+αt.

于是有

F（x，y，z）➝+∞　（t➝+∞）.