考研数学分析总复习：复合函数求偏导链式法则

时间：2023-10-19 理论教育版权反馈

【摘要】：对链式公式，不必去死记硬背.对具体题目只要搞清楚它的复合层次，相应地链式公式就不难写出来.但需要注意链式公式成立的条件，即外层函数可微.例6.15设函数其中，p∈N+.问：对于p的哪些值，f（x，y）在原点连续？对于p的哪些值，fx（0，0）与fy（0，0）都存在？

对链式公式，不必去死记硬背.对具体题目只要搞清楚它的复合层次，相应地链式公式就不难写出来.但需要注意链式公式成立的条件，即外层函数可微（这一点一般是成立的，对分段函数要注意检验就可以了）.

例6.15　设函数

其中，p∈N_+.问：

（1）对于p的哪些值，f（x，y）在原点连续？

（2）对于p的哪些值，f_x（0，0）与f_y（0，0）都存在？

（3）对于p的哪些值，f（x，y）在原点有一阶连续偏导数？并给出证明.（中山大学）.

解　（1）由0≤∣f（x，y）∣≤∣x+y∣^p≤（∣x∣+∣y∣）^p可知，当p∈N₊且p≥1时，有，即f（x，y）在原点连续.

欲使上式极限存在，必须有p≥2.此时，f_x（0，0）=0.

同理可知，当p≥2时，f_y（0，0）=0.

（3）由（2）知，当p≥2时，有

而

显然，上式右端第一项的极限为0，而欲使第二项的极限为0，必须让p≥3（对此可作极坐标变换）.于是当p≥3且p∈N₊时，f_x（x，y）在原点连续.同理可证，当p≥3且p∈N₊时，f_y（x，y）在原点也连续.

例6.16　设二元函数

在点（0，0）可微，求常数a，b的值

解　先用定义求f（x，y）在点（0，0）的偏导数.

同理可得：f_y（0，0）=0.

由f（x，y）在点（0，0）可微知，f（x，y）在点（0，0）连续，而且

即

由式（1）可知

即b=0.

由式（2）和b=0，有

故a=0.

例6.17　设二元函数f（x，y）的两个混合偏导数f_xy（x，y），f_yx（x，y）在（0，0）点附近存在，且f_xy（x，y）在（0，0）点连续.证明：f_xy（0，0）=f_yx（0，0）（浙大）.

证明　记I=f（0+Δx，0+Δy）-f（0，0+Δy）-f（0+Δx，0）+f（0，0），

φ（x）=f（x，0+Δy）-f（x，0），ϕ（y）=f（0+Δx，y）-f（0，y），

则I=φ（0+Δx）-φ（0）和I=ϕ（0+Δy）-ϕ（0）.

一方面，

另一方面，

I=ϕ′（0+θ₃Δy）Δy

=[f_y（0，Δx，0+θ₃Δy）-f_y（0，0+θ₃Δy）]Δy　（0<θ₃<1）.

由上面两式，有

由f_xy（x，y）在（0，0）点的连续性，可知

于是，有

特别地，当（Δx，Δy）沿着直线Δy=0趋向于（0，0）时，有

本题给出了较弱条件下，两个混合偏导数可交换的结论.下列也属于这类问题.

例6.18　设f_x，f_y在（0，0）点附近存在，且在（0，0）点可微，证明：

f_xy（0，0）=f_yx（0，0）.

证明　因为f_x，f_y在（0，0）点可微，所以f_xx（0，0），f_xy（0，0），f_yx（0，0），f_yy（0，0）都存在.

下证：两个混合偏导数相等.由于

因此

其中0<θ₁<1.

注意到f_x在（0，0）点可微，我们有

f_x（0+θ₁Δx，0+Δy）=f_x（0，0）+f_xx（0，0）θ₁Δx+f_xy（0，0）Δy+α₁θ₁Δx+α₂Δy，

（2）

和

f_x（0+θ₁Δx，0）=f_x（0，0）+f_xx（0，0）θ₁Δx+α₃θ₁Δx，（3）

其中α₁，α₂是（Δx，Δy）→（0，0）时的无穷小量，α₃是Δx→0时的无穷小量.

将式（2）、式（3）两式代入式（1）可得

令Δy=Δx→0，则α₁，α₂，α₃→0，故有f_xy（0，0）=f_yx（0，0）.

例6.19　设u（x，y）的所有二阶偏导数都连续，并且已知u（x，2x）=x，u_x（x，2x）=x².试求：u_xx（x，2x），u_xy（x，2x），u_yy（x，2x）（南开）.

解　对u（x，2x）=x两边关于x求导

u_x（x，2x）+2u_y（x，2x）=1.

由u_x（x，2x）=x²可得

在上式中，两边关于x求导可得

u_yx（x，2x）+2u_yy（x，2x）=-x. （1）

对u_x（x，2x）=x²两边关于x求导可得

u_xx（x，2x）+2u_xy（x，2x）=2x.　（2）

利用u_xx=u_yy，u_xy=u_yx，联系式（1）、式（2）求解可得

类题1　设a，b≠0，f具有二阶连续偏导数，且a²f_xx+b²f_yy=0，f（ax，bx）=ax，f_x（ax，bx）=bx².试求f_xx（ax，bx），f_xy（ax，bx），f_yy（ax，bx）.

类题2　设f（x，y）在R²上有连续偏导数，且f（x，x²）=1.

（1）若f_x（x，x²）=x，求f_y（x，x²）；

（2）若f_y（x，y）=x²+2y，求f（x，y）.

提示　（2）对f_y（x，y）=x²+2y两边关于y积分可得

f（x，y）=x²y+y²+φ（x）.

由f（x，x²）=1可得：2x⁴+φ（x）=1，即φ（x）=1-2x⁴.

故 f（x，y）=x²y+y²+1-2x⁴.

下面的例题是关于齐次函数的.

定义　若函数f（x，y）满足f（tx，ty）=tⁿf（x，y）　（t>0），则称f是n次齐次

函数.

例6.20　设f具有连续偏导数，则f是n次齐次函数的充要条件是：

证明　（⇒）对等式f（tx，ty）=tⁿf（x，y）两边关于t求导，并令t=1即可.

（⇐）令.若能证明φ′（t）≡0，就可说明φ（t）与t无关.这样就有φ（t）=φ（1）=f（x，y），从而充分性得证.

而

齐次函数有如下重要的性质：

命题6.3　若f（x，y）是n次齐次函数，则

命题6.4　若f（x，y）是n次齐次函数，则f_x（x，y），f_y（x，y）是（n-1）次齐次函数.

这些命题的证明是简单的，请同学们予以证明.

例6.21　证明：满足下面的方程

其中，φ，ψ均二阶连续可微（南京大学）.

证明　记，，则u是n次齐次函数，v是-n次齐次函数.于是有

(www.xing528.com)

从而

类题　设z=xf（u）+g（u），，且f（u）及g（u）二阶可导，试计算式子

（清华）.

例6.22　设曲面z=f（x，y）二次可微，且.证明：对任给的常数c，f（x，y）=c为一条直线的充要条件是：

（华中工学院）.

证明　∀c，f（x，y）=c为一条直线即由f（x，y）=c所确定的隐函数y=y（x）在xOy平面上表示一条直线.显然，y=y（x）是一条直线而故

由此可见，命题成立.

例6.23　设f（x，y）为R²上的可微函数，且有

试证明：f（x，y）在R²上有最小值.

证明　因为，所以∃r₀>0，当r≥r₀时，有

又由于

是沿半径方向的方向导数，因此当r≥r₀时，也有，即f沿r方向递增.于是，∀P（x，y）∈R²，当时，都有f（x，y）>f（x₀，y₀）.这表明f在圆r=r₀以外各点的值总是大于该圆上某一点处的值.所以在R²上f若有最小值必在r≤r₀上达到.

由f可微知，f连续.根据连续函数在有界闭域上的性质知，f必有最小值，且在圆域r≤r₀上达到.

例6.24　设f（x，y）在区域D⊂Rⁿ上可微，l₁，l₂是两个给定的方向，它们之间的夹角为φ（0<φ<π）.证明：

证明　设l₁与x轴正方向的夹角为θ，则l₂与x轴正方向的夹角为θ+φ.由f的可微性，有

解之可得

于是有

例6.25　若函数u=u（x，y）满足拉普拉斯方程，证明：函数也满足这个方程（河南大学）.

证明　设，，则v（x，y）=u（ξ，η）.而由

及

注意到u_ξξ（ξ，η）+u_ηη（ξ，η）=0，有

即v也满足拉普拉斯方程.

例6.26　已知方程z_xx+2z_xy+z_yy=0，作代换u=x+y，v=x-y，w=xy-z.将w视为u，v的函数，w具有二阶连续偏导数，求代换后的方程（复旦）.

图6-2　函数的复合层次

解　复合层次如图6-2所示.

于是

z_xx+2z_xy+z_yy=2-4w_uu=0，

即

注6.3　当自变量和未知函数同时变换时，做这类题目的一般方法是：将原来的未知函数（如z）写成新未知函数（如w）的函数.这样就可把原来的未知函数理解为以新未知函数和新自变量（如u，v）为中间变量，以原来的自变量（如x，y）为最终变量的复合函数.利用复合函数的微分法，求出原导数和新导数（新未知函数对新自变量的导数）之间的关系.将其代入方程化简、整理即可得到新导数和新自变量所满足的方程.