傅里叶级数的性质：唯一性定理

1）傅里叶系数的渐近性质.

由黎曼引理知，

随着f的可导性的提高，a_n，b_n趋向于零的速度也会加快.

命题5.6　设f在[-π，π]上有直到k+1阶的导数，f（k+1）在[-π，π]上可积，且f（l）（π）=f（l）（-π）（l=0，1，…，k），则

2）傅里叶级数的唯一性定理.

命题5.7　设f是以2π为周期的连续函数，且其傅里叶系数均等于0，即a₀=0，a_n=b_n=0，n=1，2，…，则f必是恒为零的常值函数.

这个命题告诉我们，如果两个连续函数在某一给定区间上的傅里叶级数相同，则这两个连续函数相等.

3）傅里叶级数的逐项积分定理：设f（x）在[-π，π]上可积，且

则级数一定收敛，且∀x₀，x∈[-π，π]，有

进而，取x₀=0可得

上式右端是上式左端函数的傅里叶级数.

注5.8　只要f可展开成傅里叶级数，不论这个级数是否收敛，是否收敛于f（x），它逐项积分后所得到的级数一定收敛于

另外，这个定理还告诉我们，一个三角级数有资格成为某个可积函数的傅里叶级数的必要条件是收敛.

例如，级数虽然在（-∞，+∞）上收敛，但它却不能是任何可积函数的傅里叶级数.

4）傅里叶级数逐项求导定理：设f在[-π，π]上连续、按段光滑，且

若f′在[-π，π]上按段光滑，则下面的逐项求导公式成立：

若f′（x）在[-π，π]上连续，则有

进而，若还有f′（-π）=f′（π），则上式对x=±π也成立.

傅里叶级数的部分和S_m（x）的性质以及由它导出的贝塞尔（Bessel）不等式和巴塞伐尔（Parseval）等式在此不再赘述.

例5.59　求f（x）=x³在区间[0，2π]上的傅里叶级数展开式，并由此证明

解　因为f（x）在[0，2π]上可积，所以可展开成傅里叶级数.而

故

显然，当x∈（0，2π）时，f（x）=x³连续，故

当x=0时，级数收敛于f.于是由式（1）可得，　即

再在式（1）中，令x=π，可得

例5.60　求和

解　考虑函数f（x）=e^2x，x∈[0，2π）.将f（x）展开成傅里叶级数，则

当n≥1时，

所以的傅里叶级数为

由收敛定理，上面的级数在x=0处收敛于

即

例5.61　设

（1）求f的傅里叶级数展开式；

（2）讨论f的傅里叶级数在（-π，π]上是否收敛于f，是否一致收敛于f？

解　（1）由于f在（-π，π）上为奇函数，故

所以f的傅里叶级数展开式为

（2）因为f在（-π，π）上除x=0外都连续，故当x∈（-π，π），且x≠0时，有

又当x=0时，级数收敛于

当x=π时，级数收敛于

由此可见，f的傅里叶级数在（-π，π]上收敛于f.

由于f在（-π，π]上不连续，由连续性定理，若级数在（-π，π]上一致收敛于f，这就与f的不连续性相矛盾，故f的傅里叶级数在（-π，π]上不一致收敛于f.

例5.62　设f（x）是以2π为周期的连续函数，a_n，b_n是傅里叶系数，求函数

的傅里叶系数A_n，B_n，并利用F（x）的展开式证明巴塞伐尔等式：

解　∀x∈R，有

即F（x）是以2π为周期的函数，而F（x）的连续性显然.

即F（x）是偶函数.于是，函数F（x）的傅里叶系数

对内层积分作变量替换t+x=y，注意到f的周期性，有

于是

故

在上式中，令x=0，可得巴塞伐尔等式：

注5.9　本例中给出的F（x）称为函数f（x）的卷积，它具有许多好的性质.有兴趣的同学可参看任何一本傅里叶分析的教材或专著.另外，巴塞伐尔等式是熟知的结果，利用它很容易证明傅里叶级数的唯一性定理.

例5.63　证明：，x∈[0，π].

证明　这类题目不能把它视为级数求和，而应把它看成右端函数的傅里叶展开.

记，从欲证的等式可以看出，需将f（x）在[0，π]上展开成余弦级数.为此，只需将g（x）=3x²-6πx在[0，π]上展开成余弦级数即可.而

由傅里叶级数收敛定理，有

即

例5.64　（1）设f（x）以2π为周期，在（0，2π）内有界，证明：若f（x）↓，则b_n≥0；若f（x）↑，则b_n≤0　（n=1，2，…）；

（2）设f′（x）在（0，2π）内有界，证明：若f′（x）↑，则a_n≥0；若f′（x）↓，则a_n≤0　（n=1，2，…）；(www.xing528.com)

（3）设f（x）在[0，2π]上连续，证明：若，则a_n≥0；若F（x）↑，则a_n≤0　（n=1，2，…）.

证明　（1）将[0，2π]n等分，则

注意到当f（x）↓时，，在区间上，sinnx≥0，所以b_n≥0.

类似地可证，当f（x）↑时，b_n≤0.

（2）由傅里叶系数的计算公式易得，，这里b′_n是f′（x）的傅里叶系数.对f′应用（1）的结论知，若f′（x）↑，则b_n′≤0，故a_n≥0；若f′（x）↓，则b_n′≥0，故a_n≤0.

（3）由f（x）在[0，2π]上连续知，F（x）在[0，2π]上可导，用A_n，B_n表示F（x）的傅里叶系数，则有

类似地可得，n=1，2，….

对F（x）应用（1）的讨论知，若F（x）↓，则a_n≥0；若F（x）↑，则a_n≤0.

注5.10　从本例的证明过程可以看出，关键是证明（1）.而（1）的证明，也可用第二积分中值定理：

由此易得结论.

例5.65　设f，g在[0，2π]上可积，a_n，b_n和α_n，β_n分别表示f和g的傅里叶系数，则

证明　写出f+g和f-g的巴塞伐尔等式：

将上两式相减可得结论.

作为例5.65的一个应用，我们用它来证明傅里叶级数的逐项积分定理.

例5.66　设f（x）在[-π，π]上可积，且

则∀[a，b]⊂[-π，π]，有

证明　由例5.65知，

上式对[-π，π]上的任一可积函数g（x）都成立.特别地，取

则上式就变成

例5.67　设f（x）在[-π，π]上连续，

求T_n（x）（即确定系数α_k，β_k），使均方差

最小.

解　设a_n，b_n为f（x）在[-π，π]上的傅里叶系数，而

上式第一、三项为常数.由此可见，当且仅当

α_k=a_k，β_k=_bk　（k=1，2，…，n），α₀=a₀时δ最小，最小值

这个结论告诉我们，在均方收敛的意义下，连续函数f（x）的傅里叶三角多项式是所有三角多项式的最佳逼近，并且是一致的.

例5.68　设f（x）在[0，π]上有连续导数，f′（x）在[0，π]上分段光滑，且，试证：

证明　将f（x）偶延拓到[-π，0]上，由已知条件，延拓后的函数能在[-π，π]上展开成傅里叶级数，且a₀=0，b_n=0，

逐项微分可得

二者均为傅里叶展开式.利用巴塞伐尔等式：

故

类题　设f（x）在[0，π]上二阶连续可导，f（0）=f（π）=0.

试证明：级数收敛（华南理工）.

提示　将f（x）奇延拓到[-π，0]上，则f′（x）是[-π，π]上的偶函数，而且能展开成傅里叶级数.

记f′（x）在[-π，π]上的傅里叶系数分别为A_n，B_n则A₀=0，B_n=0，n=1，2，….

由

可得

A_n=na_n，n=1，2，….

由巴塞伐尔等式，有

即级数收敛.

例5.69　设f（x）在[a，b]上可积且平方可积，{φ_n（x）}是[a，b]上的标准正交系，即

记

证明：级数收敛，且

证明　令，则

即

这表明级数的部分和有上界，所以收敛，且

例5.70　设f（x）在[0，π]上连续，且对任意的n≥1，均有

证明：f（x）为常值函数（南大）.

证明　先将f（x）偶延拓到[-π，π]上，然后再作周期为2π的周期延拓到（-∞，+∞）上，则f（x）的傅里叶系数b_n=0，n=1，2，….

由已知条件，a_n=0，n=1，2，….所以，f（x）的傅里叶展开为

由傅里叶级数的收敛定理，再由f（x）在[0，π]上连续性，有，x∈[0，π].

类题　设f（x）在[-π，π]上连续，f（-π）=f（π），且

证明：f（x）≡0，∀x∈[-π，π].

提示　用巴塞伐尔等式.

由已知条件，a_n=0（n=0，1，…），b_n=0（n=1，2，….）.由于f（x）在[-π，π]上连续，所以巴塞伐尔等式成立：

由连续函数的性质知，f²（x）≡0，即f（x）≡0，∀x∈[-π，π].