函数项级数的一致收敛性：精选名校真题分析

1）函数列{S_n（x）}在D上（点态）收敛于S（x）是指：∀x₀∈D，数列{S_n（x₀）}收敛于S（x₀）.用ε—N的语言表示就是：∀ε>0，∃N=N（ε，x₀）>0，当n>N时，成立

∣S_n（x₀）-S（x₀）∣<ε.

我们通常说的“函数列在D上收敛”就是指的“点态收敛”.

2）函数列{S_n（x）}在D上一致收敛于S（x）是指：∀ε>0，∃N=N（ε）>0，

当n>N时，∀x∈D，恒成立

∣S_n（x）-S（x）∣<ε.

记为.

若对∀[α，β]⊂D，都有，则称{S_n（x）}在D上内闭一致收敛.(www.xing528.com)

一致收敛是整体概念（像函数在[a，b]上一致连续一样），而点态收敛是局部概念（像函数的连续性、可导性一样）.因此，由函数列在D上内闭一致收敛并不能得到函数列在D上一致收敛.反之是可以的.

从定义上看，点态收敛的N与x₀有关，而一致收敛的N与x₀无关，它适用于D中一切x.因此，点态收敛能否成为一致收敛的关键是：是否成立？

例如，S_n（x）=xⁿ，x∈[0，1）.显然{S_n（x）}在[0，1）上点态收敛于S（x）=0.∀0<ε<1，要使∣S_n（x）-S（x）∣=xⁿ<ε，必须，因此可取

而

因此，{S_n（x）}在[0，1）上不一致收敛于S（x）.

3）{S_n（x）}在D上不一致收敛于S（x）是指：∃ε₀>0，∀N>0，∃n₀>N和x′∈D，使得，记为.