广义积分计算方法与性质简介

在这一段中将涉及广义积分的计算、敛散性的判定以及广义积分作为“积分和”的极限等内容.

收敛的广义积分继承了定积分的许多性质.如，线性性质、区间的可加性、分部积分法、变量替换等.但也有一些性质，如乘积可积性，却不再成立（请同学们举例说明这一点）.

广义积分计算常用的方法有①牛顿-莱布尼茨公式法；②分部积分法；③变量替换法.在使用这些方法时，计算奇点（可以是有限点，也可以是±∞）处的值要把它理解为极限过程.

判定广义积分敛散性的方法有①定义；②柯西准则；③非负函数的比较判别法；④非负函数的阶方法；⑤阿贝尔判别法（简称A-法）；⑥狄里克雷判别法（简称D-法）；⑦级数法等.

常见的广义积分的敛散性.

1），当p>1时，收敛；当p≤1时，发散.

2），当p<1时，收敛；当p≥1时，发散.

在用阶方法判定广义积分的敛散性时，常用下面的关系式：∀ε>0充分小，当x→+∞时，ln（1+x）=O（x^ε）；当x→0^+时，

例4.38　计算下列广义积分

（1）；

（2）；

（3），其中

解

（2）令，则

于是有

（3）先求

由分部积分公式，可得

所以

类题　计算

提示　令.

例4.39　证明：欧拉积分收敛，并求其值.

证明　x=0为奇点.∀ε>0，当x→0⁺时，有

lnsinx=O（（sinx）^-ε）=O（x^-ε）.

由此可知，欧拉积分收敛.

下面求I的值.

作变量替换x=2t，则

对后一个积分作变量替换，则

故

应用欧拉积分，不难求出下面的积分.

提示　分部积分.

提示　分部积分，，再令x=sint.

提示　分部积分，

而，再令.

例4.40　计算，m，n∈N+（北师大）.

解　由分部积分公式有

于是有

而

故

例4.41　设.

解　由导数的定义，有

由分部积分公式，有

对上式右端的第二项，使用洛必达法则，有

从而

类题　证明广义积分收敛，且I≤1（解放军信息工程大学）.

提示　用D-法易证广义积分I收敛.

因为

所以

例4.42　求x→1-时，与等价的无穷大量（第一届全国大学生数学竞赛（非数学类）初赛试题）.

解　本题就是要找x→1-时的无穷大量g（x），使得

，当x∈（1-δ，1）时，由第一积分中值定理，存在ξ∈[n，n+1]（n=0，1，…），使得

因此，∀x∈（1-δ，1），有进而有

另一方面，由，即可得

由（1）、（2）两式可得

注意到

于是，取，则有

故g（x）即为所求.

例4.43　讨论积分

的敛散性.

解　先讨论的敛散性.

令，即，则

当α>-3时，单调递减趋向于零.又∀A>1，有

所以由D-法知，当α>-3时，I₁收敛；

当α≤-3时，∀n∈N+，有

由柯西准则知，I₁发散.

再由的单调有界性，根据A-法知，I与I₁具有相同的敛散性.

例4.44　讨论积分

的敛散性.

解　x=0，x=1和x=+∞可能为奇点，

当x→0^+时，，

当x→1-时，，所以欲使I₁收敛，必须要求p-1<1和p+q<1.

又当x→+∞时，，所以欲使I₂收敛，必须要求p+q<1和2p+q-1>1.

综上可知，当p，q满足：

p<2且2（1-p）<q<1-p

时，I收敛.

例4.45　积分是否收敛？是否绝对收敛？证明你的结论（北大）.

解　x=0和x=+∞为奇点.

对I₁而言，x=0为奇点.由

有

由此可见，I₁收敛.又因为被积函数非负，所以I₁还是绝对收敛.

对I₂而言，x=+∞为奇点.因为当x>1时，，故由（1+x）^α的展开式，有

于是

由D-法知，条件收敛，而绝对收敛，所以I₂条件收敛.

综上知，I条件收敛.

例4.46　设f（x）在[0，+∞）上有一阶连续导数，且f（0）>0，f′（x）≥0，∀x∈[0，+∞）.若，证明：（第四届全国大学生数学竞赛（数学类）预赛试题）.

证明　对∀A>0，由f′（x）≥0，有

对其取极限可得

由已知条件，有

例4.47　设α，β为实数，试讨论积分

的敛散性（中科院）.(https://www.xing528.com)

解　若β=0，则无处收敛；

若β≠0，令t=x^β，则，

对于I₁而言，t=0可能为奇点.当t→0⁺时，.由此可见，当即时，I₁收敛.因为被积函数非负，所以I₁还是绝对收敛.

对于I₂而言，t=+∞为奇点，此时只考虑的情形.

当时，由及知，I₂绝对收敛；单调递减趋向于零，且∀A>1，有由D-法知，I₂收敛且为条件收敛；

当时，∀n∈N+，有

由柯西准则知，I₂发散

综上知，当时，I绝对收敛；当时，I条件收敛.

例4.48 证明无穷积分收敛，其中[x²]表示不超过x²的最大整数.

证明 当时，有[x²]=n，n=0，1，2，….而

这是一个交错级数，由莱布尼茨判别法，它收敛.

这个例子告诉我们，无穷积分收敛，并不要求被积函数

例4.49 证明：

（1）无穷积分发散；

（2）无穷积分收敛.

证明　利用级数法.

而

当时，有

故

由发散，可知发散，从而原积分发散.

（2）类似于（1），有

而

当时，利用不等式，有

故

由收敛，可知收敛.同理可证收敛，从而收敛.由此可知，原积分收敛.

例4.50 设f（x）在（0，1]上单调，0是奇点.证明：如果收敛，则

反之，如果式（1）左端的极限存在，则收敛，且等式成立.

证明 不妨设f（x）单调↓，且f（x）≥0（否则，考虑函数F（x）=f（x）-f（1））.将（0，1]区间n等分，分点为，则当时，有

那么，若收敛，则由

可知，式（1）成立.

反过来，记，则a_n≥0且{a_n}↑.若式（1）左端的极限存在，由可知，{a_n}上有界.由单调有界定理便知存在，再注意到f（x）≥0，故收敛.从而式（1）成立.

注4.9 即使广义积分收敛（a为奇点），一般说来，等式：

也未必成立.也就是说，即使收敛的广义积分，如果不附加额外的条件，它一般也不能写成积分和的极限.

例如，广义积分收敛（0为奇点），且

将（0，1]区间n等分，分点为.在第一个小区间内取两个介点ξ′₁=e^-n和ξ″₁=e^-2n，而在其余的小区间上取介点ξ′_k=ξ″_k（k=2，3，…，n）.这样，就有两组介点

{ξ′_k}：e^-n，ξ₂′，ξ′₃，…，ξ′_n，

{ξ″_k}：e^-2n，ξ″₂，ξ″₃，…，ξ″n.

相应地，就有两个积分和与.作差

即

这表明，积分和的极限与介点{ξ_k}的选取有关.因此，式（2）一般不成立.

例4.51 （伏茹兰尼（Froullani）积分公式）设f（x）在（0，+∞）上连续，a>0，b>0，有

（1）若f（0），f（+∞）存在，则

（2）若f（0）存在，且∀A>0，存在，则

（3）若f（+∞）存在，且∀A>0，存在，则

（复旦大学）.

证明 （1）∀[α，β]⊂（0，+∞），有

分别作变量替换：ax=t和bx=t，有

由第一积分中值定理，有

其中ξ在aα与bα之间，η在aβ与bβ之间.

在上式中同时令α→0⁺，β→+∞可得结论.

（2）当存在时，在式（1）中，令β→+∞，有，于是有

（3）类似于（2）可证之.

这个公式的证明综合运用了变量替换、区间的可加性及第一积分中值定理.由于第一积分中值定理对无穷积分不再成立，因此首先在有限区间[α，β]上讨论，然后通过极限过渡到无穷区间（0，+∞）上.这是处理无穷积分的常用方法，希望同学们仔细领会.

利用伏茹兰尼公式可以很快计算出下列积分.

其中a>0，b>0.收敛与的关系

（1）收敛（见例4.44）；

（2）收敛，且；

例如，取

显然收敛于0，但不存在，当然

（3）收敛，且f（x）≥0连续或f（x）有界.

例如，取

则收敛，但，且f（x）在[0，+∞）上无界.

在收敛的前提下，如果对f（x）附加上合适的条件可保证成立.看下面的几个命题.

命题4.3 若收敛，且存在，则；

命题4.4 若收敛，且f（x）在[a，+∞）上单调，则0；

命题4.5 若收敛，且f（x）在[a，+∞）上一致连续（或更强地f′（x）在[a，+∞）上有界），则；

命题4.6 若收敛，f（x）在[a，+∞）上可导且也收敛，则.

例4.52 证明命题4.5

证法1 由于f（x）在[a，+∞）上一致连续，所以∀ε>0，∃δ>0（δ≤ε），∀x₁，x₂∈[a，+∞），只要∣x₁-x₂∣≤δ，就有

又由收敛知，对上述δ>0，∃A₀≥a，∀x′，x″>A₀，有

∀t>A₀，取x′，x″>A₀，使x′<t<x″，且x″-x′=δ，则有

故

证法2　用反证法.若，则∃ε₀>0，∀X>a，∃x₀>X使得

f（x₀）≥ε_0.

因为f（x）在[a，+∞）上一致连续，所以对上述ε₀>0，∃0<δ₀<1，∀x₁，x₂∈[a，+∞），只要∣x₁-x₂∣<δ₀，就有

于是，对，∀A₀≥a，令X=A₀+1，取x₀>X使得∣f（x₀）∣≥ε0成立.不妨设f（x₀）>0，则当∣x-x₀∣<δ₀时，有

取和，则A″>A′>A₀，且有

由柯西准则知，不收敛，矛盾.（若f（x₀）<0，则当x-x₀<δ₀时，有，即这样将式（*）中的f（x）用-f（x）代替，不等式仍然成立）.

例4.53　若函数f（x）在[0，+∞）上正值单调减少，且，则与极限同时收敛，且.并由此求极限

分析　欲证与中有一个收敛，另一个必收敛.只需证：∀ε>0，当h>0充分小时，有

成立即可.

证明　由f在[0，+∞）上正值单调减少，有

和

于是，

显然，与同时收敛，且

在上式中，令h→0⁺就得到所要证的等式.

取，则f（x）>0在[0，+∞）上单调减少，且，所以

注意到，我们有