考研数学分析：不定积分计算技巧

不定积分是数学分析中最重要的内容之一，对常规的求解方法——第一换元法（凑微分法）、第二换元法、分部积分法和万能代换等要非常熟练地掌握；对带有技巧性的解法，只有多做多练方能领会和掌握，正所谓熟能生巧！在此，我们不打算对不定积分的各种解法逐一讲解，而只是想通过典型题目介绍一些技巧.也许，大家会感觉到在内容上缺乏系统性，这正是由这门课的性质所决定的！

例4.1 求下列不定积分

解 （1）由于（xlnx）′=1+lnx，所以

（2）由于，所以

（3）由于（sinx-cosx）′=sinx+cosx，所以

例4.2 求下列不定积分

解

例4.3 求下列不定积分

解

例4.4 求下列不定积分

解

例4.5　求下列不定积分

解　（1）令，则，所以

（2）令，通过计算可得

注4.1　处理这类题目的一个基本原则是：选择最复杂的式子作为新的变量，这样就可把它去掉！

例4.6　求.

解　注意到（2sinx+cosx）′=2cosx-sinx，可令

3sinx+4cosx=a（2sinx+cosx）+b（2cosx-sinx）

解之得　a=2，b=1，从而有

注4.2　本例的解法为形如的不定积分提供了一般的解法.

例4.7　求.

解　由于，故可令

于是有

dx=2（b-a）sintcostdt，

从而

本例的解法十分依赖题目的结构，若用第二换元法求解，那将是非常复杂的.

例4.8　求下列不定积分

（3）已知f（x）在区间内满足

求f（x）（第一届全国大学数学竞赛（非数学类）决赛试题）.

解　（1）当a-b=kπ时，；

当a-b≠kπ时，由sin（a-b）=sin[（x+a）-（x+b）]

=sin（x+a）cos（x+b）-cos（x+a）sin（x+b）可知，

（2）当a=1时，；

当a≠1时，

这里注意到了在内，(https://www.xing528.com)

例4.9　求下列不定积分

解

注4.3　这两个题目都是用分部积分法求解的.如果说第一个题目中u，v的选取能观察出来的话，那么第二个题目就很难了！对此我们可采用如下方法处理：取u=lnx，，而

这样就可取.

再如，要计算取u=arccosx，，此时

故取

在这里还要提醒同学们注意的是：在被积函数中若出现了lnx，arcsinx，arctanx等函数时，一般要选取它们作为u.这是因为通过求导可将这些符号去掉！

例4.10　求

解

而

于是

类题　求下列不定积分

提示　（1）令t²=tanx，则原积分化为

由例4.10可得

（2）令t²=tanx，则

（3）

例4.11　设P_n（x）是x的n次多项式，计算

解　将P_n（x）在a点作泰勒展开

于是有

例4.12　设n次多项式，其系数满足关系式，证明：不定积分是初等函数.

证明 由此可见，只需计算即可.而，其中f_i（x）是初等函数.

所以

显然，当时，是初等函数.

例4.13　求

解　由于

所以

由原函数的连续性，若记C₂=C，则故

注4.4　对分段函数f（x）求原函数（或不定积分）F（x），虽然是逐段求出的，但必须有F′（x）=f（x）.为此F（x）首先应该连续，这样就可利用F（x）在分段点的连续性确定出各常数之间的关系.像本例，由F（x）在x=-1处的连续性可得F（-1-0）=F（-1+0）=F（-1），即，故

由F（x）在x=1处的连续性可得F（1-0）=F（1+0）=F（1），即，故

例4.14　设y=y（x）是由方程y²（x-y）=x²所确定的隐函数，试求.

解　欲将y从所给的方程中解出来是非常困难的，甚至是不可能的！因此，我们必须引入参数形式.令y=tx，代入所给的方程可得，则，，故

类题　设y=y（x）是由方程（x²+y²）²=2a²（x²-y²）所确定的隐函数，求.

提示　令y=tx，由方程可得，

注意到，有