用施图兹定理求极限-考研数学分析总复习：精选名校真题

为方便起见，我们不加证明地将施图兹定理叙述如下：

施图兹定理　设{y_n}是严格单调增加的正无穷大量，且（a可为有限量，也可为+∞或-∞），

则

注1.3 施图兹定理在处理一类复杂数列的极限时，非常方便！

例如，在例1.1（1）中，若令x_n=a₁+a₂+…+a_n，y_n=n，可立即得到结论.

例1.17 求极限

解 令x_n=1^k+2^k+…+n^k，y_n=n^k+1，由

可得

注1.4 本例也可用定积分的定义求解.

事实上，取f（x）=x^k，将和式看做是f（x）在[0，1]上相应于n等分的积分和即可，即

由此可以看出，用定积分定义求解本例，不要求k为自然数，只要求k>0即可.

例1.18 设α∈R，求.

解 记.由施图兹定理，

类题 设，若，证明：(https://www.xing528.com)

（1）当a为有限数时，；（2）当a=+∞时，（上海大学）.

例1.19 对于数列，xn=sinx_n-1（n=1，2，…）.

证明 （1）；（2）

证明 （1）由不等式0<sinx<x知，{x_n}单调递减且有下界0.由单调有界定理，存在.若记为ξ，则在等式x_n=sinx_n-1两边取极限可得ξ=sinξ.注意到ξ的范围知ξ=0，即lim n

（2）考虑.分母单调趋向于+∞，由施图兹定理，

上式右端是型的不定式，将其换成连续变量t，使用洛必达法则，有

再由海涅定理知，，即.

类题1 设，求.

答案 2.

类题2 设0<x₁<1，x_n+1=x_n（1-x_n），n=1，2，….证明：

提示（1），即（n=2，3，…）.且由知，{x_n}↓.由单调有界定理，存在，易知x=0.

（2）由施图兹定理，