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考研数学分析:迫敛性定理求极限实例

时间:2023-10-19 理论教育 版权反馈
【摘要】:例1.10 证明:证明故例1.11 设a1,b1为任意选定的实数,an和bn的定义为:试证:.证明 先证明{an},{bn}是有界数列.当n=2,3,…时,有于是,当n=3,4,…,am为m个正数,证明:求极限提示 记G=max{a1,a2,…,am},则由迫敛性定理可得结论;由,类题3 设Φn满足:求.提示 由已知条件,有,n=1,2,…≤a1知,{bn}有上界.由单调有界定理,都存在.在两边取极限可得,a=b.再由anbn=an-1bn-1可推知anbn=a1b1,取极限可得.

考研数学分析:迫敛性定理求极限实例

1.10 证明:978-7-111-46233-0-Chapter01-149.jpg

证明 978-7-111-46233-0-Chapter01-150.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter01-151.jpg

1.11a1b1为任意选定的实数anbn的定义为:

试证:978-7-111-46233-0-Chapter01-153.jpg.

证明 先证明{an},{bn}是有界数列.当n=2,3,…时,有

于是,当n=3,4,…时,有

由此可见,当n≥3时,978-7-111-46233-0-Chapter01-156.jpg,即{an},{bn}有界.

再给出{an},{bn}的递推关系式.当n≥3时,有

从式(1)、式(2)中消去bn,可得:

最后研究978-7-111-46233-0-Chapter01-160.jpg978-7-111-46233-0-Chapter01-161.jpg的存在性.

978-7-111-46233-0-Chapter01-162.jpg978-7-111-46233-0-Chapter01-163.jpg,则978-7-111-46233-0-Chapter01-164.jpg

由此可知,无论a2a4,还是a2a4,数列{a2n}均单调有界,因而极限978-7-111-46233-0-Chapter01-165.jpg存在,记为A1.

同理可以证明,978-7-111-46233-0-Chapter01-166.jpg也存在,记为A2.

由式(3)可知,A1A2应该是方程978-7-111-46233-0-Chapter01-167.jpg978-7-111-46233-0-Chapter01-168.jpg上的两个实根.注意到978-7-111-46233-0-Chapter01-169.jpg,而

所以,方程x4-4x3+4x2-8x+4=0在978-7-111-46233-0-Chapter01-171.jpg上的实根,就是方程x2-4x+2=0

978-7-111-46233-0-Chapter01-172.jpg上的唯一实根978-7-111-46233-0-Chapter01-173.jpg这表明978-7-111-46233-0-Chapter01-174.jpg,从而978-7-111-46233-0-Chapter01-175.jpg

再由式(2)可知,978-7-111-46233-0-Chapter01-176.jpg

1.12978-7-111-46233-0-Chapter01-177.jpg,(1)求978-7-111-46233-0-Chapter01-178.jpg;(2)求978-7-111-46233-0-Chapter01-179.jpg

解 (1)由于978-7-111-46233-0-Chapter01-180.jpg,所以978-7-111-46233-0-Chapter01-181.jpg

(2)一方面,由978-7-111-46233-0-Chapter01-183.jpg,可得978-7-111-46233-0-Chapter01-184.jpg;另一方面,由式(1)可知,978-7-111-46233-0-Chapter01-185.jpg联合以上两式,有978-7-111-46233-0-Chapter01-186.jpg由迫敛性定理,978-7-111-46233-0-Chapter01-187.jpg

1.13 求极限978-7-111-46233-0-Chapter01-188.jpg数学Ⅲ).

解 记978-7-111-46233-0-Chapter01-189.jpg,则

978-7-111-46233-0-Chapter01-191.jpg(www.xing528.com)

978-7-111-46233-0-Chapter01-192.jpg

978-7-111-46233-0-Chapter01-193.jpg

类题1 求下列极限

提示 (1)978-7-111-46233-0-Chapter01-195.jpg

(2)因为978-7-111-46233-0-Chapter01-196.jpg

所以 978-7-111-46233-0-Chapter01-197.jpg

(3)因为α-1<0,所以(1+nα-1<nα-1,故(1+nα<nα-1(1+n=nα+nα-1,即0<(1+nα-nα<nα-1→0.

类题2 (1)若a1a2,…,amm个正数,证明:

(2)求极限978-7-111-46233-0-Chapter01-199.jpg

提示 (1)记G=max{a1a2,…,am},则

由迫敛性定理可得结论;

(2)由(1),978-7-111-46233-0-Chapter01-201.jpg

类题3Φn满足:978-7-111-46233-0-Chapter01-202.jpg978-7-111-46233-0-Chapter01-203.jpg(解放军信息工程大学).

提示 由已知条件,有978-7-111-46233-0-Chapter01-204.jpgn=1,2,….由此可知,Φn<0,即{Φn}有上界.

再由已知条件,可得

由此可知,{Φn}单调递增,故978-7-111-46233-0-Chapter01-206.jpg存在,记为φ,在所给的等式两边取极限可得:φ3+2φ=0.由{Φn}的递增性知φ=0.

1.14a1>b1>0,且978-7-111-46233-0-Chapter01-207.jpg978-7-111-46233-0-Chapter01-208.jpg证明数列{an}、{bn}的极限存在且都等于978-7-111-46233-0-Chapter01-209.jpg(北师大).

证明 显然,anbn>0且

978-7-111-46233-0-Chapter01-211.jpg知,{an}↓;由978-7-111-46233-0-Chapter01-212.jpg978-7-111-46233-0-Chapter01-213.jpg知,{bn}↑.

又由anbnbn-1≥…≥b1知,{an}有下界

bnanan-1≤…≤a1知,{bn}有上界.

由单调有界定理,978-7-111-46233-0-Chapter01-214.jpg都存在.在978-7-111-46233-0-Chapter01-215.jpg两边取极限可得,a=b.

再由anbn=an-1bn-1可推知anbn=a1b1,取极限可得978-7-111-46233-0-Chapter01-216.jpg.

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