考研数学分析：迫敛性定理求极限实例

例1.10 证明：

证明

故

例1.11 设a₁，b₁为任意选定的实数，a_n和b_n的定义为：

试证：.

证明 先证明{a_n}，{b_n}是有界数列.当n=2，3，…时，有

于是，当n=3，4，…时，有

由此可见，当n≥3时，，即{a_n}，{b_n}有界.

再给出{a_n}，{b_n}的递推关系式.当n≥3时，有

从式（1）、式（2）中消去b_n，可得：

最后研究，的存在性.

记，，则

由此可知，无论a₂≥a₄，还是a₂≤a₄，数列{a_2n}均单调有界，因而极限存在，记为A1.

同理可以证明，也存在，记为A₂.

由式（3）可知，A₁，A₂应该是方程在上的两个实根.注意到，而

所以，方程x⁴-4x³+4x²-8x+4=0在上的实根，就是方程x²-4x+2=0

在上的唯一实根这表明，从而

再由式（2）可知，

例1.12 设，（1）求；（2）求

解 （1）由于，所以，

故

（2）一方面，由，可得；另一方面，由式（1）可知，联合以上两式，有由迫敛性定理，

例1.13 求极限（数学Ⅲ）.

解 记，则

即 (https://www.xing528.com)

而

故

类题1 求下列极限

提示 （1）

（2）因为，

所以

（3）因为α-1<0，所以（1+n）α^-1<n^α-1，故（1+n）^α<n^α-1（1+n）=n^α+n^α-1，即0<（1+n）^α-n^α<n^α-1→0.

类题2 （1）若a₁，a₂，…，a_m为m个正数，证明：

（2）求极限

提示 （1）记G=max{a₁，a₂，…，a_m}，则

由迫敛性定理可得结论；

（2）由（1），

类题3 设Φ_n满足：求（解放军信息工程大学）.

提示 由已知条件，有，n=1，2，….由此可知，Φ_n<0，即{Φ_n}有上界.

再由已知条件，可得

由此可知，{Φ_n}单调递增，故存在，记为φ，在所给的等式两边取极限可得：φ³+2φ=0.由{Φ_n}的递增性知φ=0.

例1.14 设a₁>b₁>0，且，证明数列{a_n}、{b_n}的极限存在且都等于（北师大）.

证明 显然，a_n，b_n>0且

由知，{a_n}↓；由知，{b_n}↑.

又由a_n≥b_n≥b_n-1≥…≥b₁知，{a_n}有下界，

b_n≤a_n≤a_n-1≤…≤a₁知，{b_n}有上界.

由单调有界定理，都存在.在两边取极限可得，a=b.

再由a_nb_n=a_n-1b_n-1可推知a_nb_n=a₁b₁，取极限可得.