高等数学·下册：线性方程组求解

前面已经学习了用克拉默法则和逆矩阵的方法解决当线性方程组的个数与方程中所含未知数的个数相等、且系数行列式不为零时的线性方程组的求解问题.但是,在很多实际问题中,还有不符合上述条件的问题要求解(即方程的个数与未知数的个数不相等或系数行列式等于零等).

本节将对一般的线性方程组进行讨论,解决线性方程组解的判定和求解方法的问题.

9.5.1　线性方程组解的判定及求解方法

则它的系数矩阵A与增广矩阵分别为

由矩阵的初等行变换知,增广矩阵A通过初等行变换能变成一个行阶梯形矩阵,通过进一步变换还可变成行简化阶梯形矩阵；而由消元法可知,这种变换所得行简化阶梯形矩阵所对应的线性方程组与方程组式(9-7)是同解的.

由此可知,求解线性方程组式(9-7)可通过矩阵的初等行变换来进行.方程是否有解就可由下

述定理来判定.

定理9.8 线性方程组式(9-7)有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩与增广矩阵的秩相等,即R(A)=R(),且

(1)若R(A)＜n(未知数的个数)时,方程组有无穷多组解；

(2)若R(A)=n时,方程组有唯一解；

(3)当R(A)≠R()时,方程组无解.

例9.24 判定下列线性方程组是否有解,若有解,求出方程组的解.

解 (1)用矩阵初等行变换将增广矩阵变换成为行简化阶梯形矩阵：

由上面的最后一个矩阵知：R(A)=R()=3为方程中未知数的个数,因此,方程有唯一一组解.由最后一个矩阵可得方程组的解为

(2)对方程组的增广矩阵进行初等行变换：

从上面最右边的矩阵可得到R(A)=2,而R()=3,即有R(A)≠R(),因此,该方程组无解.

例9.25 求线性方程组

的解.

解 对方程组的增广矩阵进行初等行变换：

由上面的最后一个矩阵可得,R(A)=R()=2＜3(方程中未知数的个数),所以,方程组有无穷解.

由上面的最后一个矩阵,可得如下方程组：

因此,可得方程组的解如下：

说明：上例中的x3被称为方程组的自由未知量.在上例中,还可看到,表示方程组无穷解的式子中,含有任意常数c,对于这种形式的解,称其为线性方程组的一般解.

上面的例题可看出：求解线性方程组式(9-5)一般可按如下的步骤进行：

第一步：写出方程组的增广矩阵,并通过初等行变换将其变换成行简化阶梯形矩阵B.

第二步：由定理9.8判定方程组解的情况.若无解,则求解结束；若有解,则进行下一步骤.

第三步：由矩阵B写出其对应的方程组.若方程组有唯一解,则写出的就是方程组的解；若有无穷多解,则根据所写出的方程组,写出方程组的—般解.

例9.26 λ为何值时,方程组(www.xing528.com)

有唯一解?无解?有无穷多个解?

解 方程组系数矩阵A的行列式

由克拉默法则知,当detA≠0时,方程组有唯一解,所以得：

当λ≠1或λ≠-2时,方程组有唯一解.

因为当λ=1时,方程组成为

其增广矩阵为

可由矩阵的初等变换,变换为

可得R(A)=R()=1＜3(未知数的个数).

所以,当λ=1时,方程组有无穷多个解.由上面的矩阵B可得方程组的一般解为

当λ=-2时,方程组成为

对其增广矩阵进行初等变换

从最右边矩阵可以知道,方程组的系数矩阵的秩(为2)与增广矩阵的秩(为3)是不相等的,因此可得：当λ=-2时,方程组无解.

9.5.2　齐次线性方程组解的判定

在方程组式(9-7)中,若等号右边的常数bi=0(i=1,2,…,m),方程组变为

的形式,我们称此方程组为齐次线性方程组.

显然,方程组式(9-8)一定有解,即至少有一组零解.由定理9.8可得以下定理.

定理9.9 对于齐次线性方程组式(9-8),恒有R(A)=R()；若

(1)R(A)＜n(未知数的个数)时,方程组有非零数解；

(2)R(A)=n时,方程组有唯一解(零解).

例9.27 判定下列方程组是否有解,若有解,求其解.

解 因为系数矩阵

所以可得R(A)=2＜方程中未知数的个数,由定理9.9知,此方程有非零解.

由上述最后一个矩阵知,与原方程组同解的方程组为

即

x1=-x3, x2=2x3.

令x3=c,得方程组的一般解为

习题9-5答案