行列式的主对角线元素及右上至左下元素

视频107

9.1.1　行列式的概念

1.二阶行列式

行列式的概念是从求解线性方程组的问题中引出的.

引例 用消元法解二元线性方程组

时,可得

当a11a22-a12a22≠0时,方程组式(9-1)的解为

以上就得到了二元线性方程组式(9-1)的一个求解公式.为了便于记忆和解决问题时方便应用,我们把以上的分母用记号

来表示,于是就有

上式左边符号被称为二阶行列式,其中,横排称为行列式的行,纵排称为行列式的列；aij(i,j=1,2)称为行列式的元素,第一个下标i表示元素位于行列式的第i行；第二个下标j表示元素位于行列式的第j列；aij是位于行列式第i行第j列相交处的元素.上式右端的a11a22-a12a21称为行列式的展开式；称左上角到右下角的对角线为行列式的主对角线,称右上角到左下角的对角线为行列式的次对角线.因此二阶行列式是主对角线上元素的乘积与次对角线上的元素乘积的差.

根据二阶行列式的概念,若分别记

则当D≠0时,线性方程组式(9-1)的解,可表示为

很明显,D是方程组式(9-1)中未知量x1,x2的系数按原来的位置顺序构成,因此称此行列式为方程组式(9-1)的系数行列式,D1是用常数b1,b2替换D中第—列所得,D2是用常数b1,b2替换D中第二列所得.

例9.1 用行列式求解线性方程组

解 因为

所以,方程组的解为

2.三阶行列式

类似于求二元线性方程组的求解方法,用消元法,可得三元线性方程组

的解为

以上式子中的分母不等于0.

用上面式子来求解方程组式(9-3)的解,显然烦琐,也难于记忆.为此,用类似于求解方程组式(9-1)的方法,把上述式子中的分母记为

则有

上式的左端称为三阶行列式,右端称为三阶行列式的展开式；三阶行列式有三行三列共9个元素；其展开式是六项的代数和,每一项都是行列式中位于不同行与不同列的三个元素的乘积.为便于记忆,右端的展开式可按如下法则展开计算：

此法则被称为对角线展开法.

注意：用此法则展开时,图中三条实线上的三个元素的乘积取正号,三条虚线上的三个元素的乘积取负号.

例9.2 计算下列行列式：

解 (1)由对角线法则,得

由三阶行列式,若记

则方程组式(9-3)的解可表示为

例9.3 用行列式解线性方程组

解 因为

同理可得

所以,该方程组的解为

3.n阶行列式

前面的二阶行列式是将2×2个元素排成两行两列,三阶行列式是将3×3个元素排成三行三列,且三阶行列式与二阶行列式有如下关系：

若将上式中的三个二阶行列式记为M11,M12,M13,而A11,A12,A13各表示M11,-M12,M13,则有

我们称Mij为元素aij的余子式,称Aij=(-1)i+jMij为元素aij的代数余子式(i,j=1,2,3).

一般而言,我们由以下递推方法得n阶行列式定义为：

将n×n个数排成n行n列,并且有等式

则称上式等号左边的为n阶行列式,等号右边称为此行列式按第一行展开的展开式.行列式通常用大写的英文字母表示(如D,A等).从左上角到右下角的元素a11,a22,…,ann称为主对角线上的元素,这条对角线称为行列式的主对角线；从右上角到左下角的元素a1n,a2n-1,…,an1称为次对角线上的元素,该对角线称为行列式的次对角线.

在n阶行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列划去后,余下的元素按原次序组成的n-1阶行列式,称为元素aij的余子式,记作Mij.若记Aij=(-1)i+jMij,则称Aij为元素aij的代数余子式.这时,n阶行列式的定义可简述为：n阶行列式等于它的第一行各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即

上式简称为将行列式D按第一行展开.

由此可见,高阶行列式的计算可转化为低阶行列式进行计算.

例9.4 计算三阶行列式

解 将行列式D按第一行展开的方法计算

视频108

9.1.2　行列式的性质和计算

行列式可以根据定义计算,但这样计算往往是很麻烦的,特别是阶数较高时,用定义计算很难进行下去,而使用行列式的性质,可以简化行列式的计算.因此需要讨论行列式的性质.

为研究行列式的性质,先引入转置行列式的概念.

把行列式D的行与列互换后得到的新行列式,称为行列式D的转置行列式,记为D′或DT,即：如果(www.xing528.com)

则

行列式具有如下性质.

性质1 行列式与它的转置行列式相等.

性质2 交换行列式的任意两行(或两列),行列式仅改变符号.

易验证

推论 如果行列式有两行(或两列)的对应元素相同,则此行列式的值为零.

性质3 把行列式的某一行(或列)中的所有元素都乘以同一个数k,等于以数k乘以此行列式.如

推论1 如果行列式中某一行(列)的所有元素有公因子,则公因子可以提到行列式的外面.

推论2 如果行列式中某一行(列)的所有元素为零,则此行列式的值等于零.

推论3 如果行列式中某两行(列)的元素对应成比例,则此行列式的值等于零.如

性质4 如果行列式中某一行(列)的各元素都是两项的和,则这个行列式等于两个行列式的和.即

性质5 把行列式中的某一行(列)的各元素乘以同一个数,加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变.即

性质6 行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应的代数余子式乘积之和.即

而行列式的一行(列)元素分别与另一行(列)对应位置的元素的代数余子式之乘积的和等于零,即

为了计算中叙述方便,约定以下记号：

(1)“ri↔rj”(“ci↔cj”)表示互换第i,j两行(列)；

(2)“ri×k”(“ci×k”)表示行列式的第i行(列)乘以数k；

(3)“ri+krj”(“ci+kcj”)表示将行列式的第j行(列)乘以数k加到第i行(列).

例9.5 计算行列式

解

上例表明,在计算行列式时,可利用行列式的性质,先将行列式的某行(列)化为除一个元素不为零,其他元素全为零；再按该行(列)展开,使之变化为低一阶的行列式.如此下去,直到化成二阶行列式,即可求出行列式的值.

9.1.3　克拉默法则

由二阶行列式和三阶行列式的引入看出,行列式可以用来求解二元与三元线性方程组.由此可知,可用n阶行列式来求解n元线性方程组.

定理9.1 (克拉默法则)设由n个n元线性方程构成的n元线性方程组为

若其系数行列式

(j=1,2,…,n),则方程组式(9-5)有唯一解：

例9.6 用克拉默法则解方程组

解 因为

注意：

(1)用克拉默法则解线性方程组有两个前提条件：一是未知数的个数等于方程的个数；二是系数行列式D不等于零.

(2)若未知数的个数、方程的个数较多时,即使它们的个数相同,也难以使用克拉默法则来求解方程组.

由克拉默法则,可推得如下结论：

推论1 若线性方程组式(9-5)的系数行列式D≠0,则方程组一定有解,且解是唯一的.

推论2 若线性方程组式(9-5)无解或有两组以上(包括两组)不同的解,则方程组的系数行列式D必等于零.

特别的,若线性方程组式(9-5)中的常数项b1,b2,…,bn,全部为零,则方程组为称方程组式(9-6)为齐次线性方程组.为对应齐次线性方程组的称谓,则称方程组式(9-5)为非齐次线性方程组.

显然,x1=x2=…=xn=0一定是方程组式(9-6)的解,我们称这个解为方程组式(9-6)的零解.

对于一组不全为零的数,若是方程组式(9-6)的解,则这样的解为方程组式(9-6)的非零解.

再根据克拉默法则,可推得如下结论：

推论3 若齐次线性方程组式(9-6)的系数行列式D≠0,则方程组只有零解.

推论4 若齐次线性方程组式(9-6)有非零解,则方程组的系数行列式D必等于零.

以上推论说明：系数行列式D=0是齐次线性方程组式(9-6)有非零解的必要条件,是否为充分条件?将在后面的内容中进行讨论.

例9.7 k为何值时,齐次线性方程组

有非零解?

解 因为方程组的系数行列式

由推论4知,要使方程组有非零解,方程组的系数行列式D必须等于零,即D=0.

即得到

(k+2)(k-1)2=0,

于是解得

k=-2或k=1.