人文数学欧拉：数学家的传奇

欧拉(L.Euler,1707—1783年)是瑞士数学家.生于瑞士的巴塞尔(Basel),卒于彼得堡(Petepbypt).父亲保罗·欧拉是位牧师,喜欢数学,所以欧拉从小就受到这方面的熏陶.但父亲却执意让他攻读神学,以便将来接他的班.幸运的是,欧拉并没有走父亲为他安排的路.父亲曾在巴塞尔大学上过学,与当时著名数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667—1748)及雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli,1654—1705年)有几分情谊.由于这种关系,欧拉结识了约翰的两个儿子：擅长数学的尼古拉(Nicolaus Bernoulli,1695—1726)及丹尼尔(Daniel Bernoulli,1700—1782年)兄弟二人,(这二人后来都成为数学家).他俩经常给小欧拉讲生动的数学故事和有趣的数学知识.这些都使欧拉受益匪浅.1720年,由约翰保举,才13岁的欧拉成了巴塞尔大学的学生,而且约翰精心培育着聪明伶俐的欧拉.当约翰发现课堂上的知识已满足不了欧拉的求知欲望时,就决定每周六下午单独给他辅导、答题和授课.约翰的心血没有白费,在他的严格训练下,欧拉终于成长起来.他17岁的时候,成为巴塞尔有史以来的第一个年轻的硕士,并成为约翰的助手.在约翰的指导下,欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行数学研究的道路.1726年,19岁的欧拉由于撰写了《论桅杆配置的船舶问题》而荣获巴黎科学院的资助.这标志着欧拉的羽翼已丰满,从此可以展翅飞翔.

欧拉的成长与他这段历史是分不开的.当然,欧拉的成才还有另一个重要的因素,就是他那惊人的记忆力!他能背诵前一百个质数的前十次幂,能背诵罗马诗人维吉尔(Virgil)的史诗Aeneil,能背诵全部的数学公式.直至晚年,他还能复述年轻时的笔记的全部内容.高等数学的计算他可以用心算来完成.

尽管他的天赋很高,但如果没有约翰的教育,结果也很难想象.由于约翰·伯努利以其丰富的阅历和对数学发展状况的深刻的了解,能给欧拉以重要的指点,使欧拉一开始就学习那些虽然难学却十分必要的书,少走了不少弯路.这段历史对欧拉的影响极大,以至于欧拉成为大科学家之后,仍不忘记培育新人,这主要体现在编写教科书和直接培养有才华的数学工作者,其中包括后来成为大数学家的拉格朗日(J.L.Lagrange,1736-1813).

欧拉本人虽不是教师,但他对教学的影响超过任何人.他身为世界上第一流的学者、教授,肩负着解决高深课题的重担,但却能无视“名流”的非议,热心于数学的普及工作.他编写的《无穷小分析引论》、《微分法》和《积分法》产生了深远的影响.有的学者认为,自从1784年以后,初等微积分和高等微积分教科书基本上都抄袭欧拉的书,或者抄袭那些抄袭欧拉的书.

欧拉在这方面与其他数学家如高斯(C.F.Gauss,1777-1855)、牛顿(I.Newton,1643-1727)等都不同,他们所写的书一是数量少,二是艰涩难明,别人很难读懂.而欧拉的文字则轻松易懂,堪称这方面的典范.他从来不压缩字句,总是津津有味地把他那丰富的思想和广泛的兴趣写得有声有色.他用德、俄、英文发表过大量的通俗文章,还编写过大量中小学教科书.他编写的初等代数和算术的教科书考虑细致,叙述有条有理.他用许多新的思想的叙述方法,使得这些书既严密又易于理解.欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算,并且最先发现了对数是无穷多值的.他证明了任一非零实数R有无穷多个对数.欧拉使三角学成为一门系统的科学,他首先用比值来给出三角函数的定义,而在他以前,一直是以线段的长作为定义的.欧拉的定义使三角学跳出只研究三角表这个圈子.欧拉对整个三角学作了分析性的研究.在这以前,每个公式仅从图中推出,大部分以叙述表达.欧拉却从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式,还获得了许多新的公式.欧拉用a,b,c表示三角形的三条边,用A,B,C表示各边所对的角,从而使叙述大大地简化.

在普及教育和科研中,欧拉意识到符号的简化和规则化既有助于学生的学习,又有助于数学的发展,所以,欧拉创立了许多新的符号.(www.xing528.com)

如用sin,cos等表示三角函数,用e表示自然对数的底,用f(x)表示函数,用∑表示求和,用i表示虚数等.圆周率π虽然不是欧拉首创,却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行.而且,欧拉还把e,π,i统一在一个令人叫绝的关系式eπi+1=0中.

欧拉不但重视教育,而且重视人才.当时,法国的拉格朗日只有19岁,而欧拉已48岁.拉格朗日与欧拉通信讨论“等周问题”,欧拉也在研究这个问题.后来拉格朗日获得成果,欧拉就压下自己的论文,让拉格朗日首先发表,使他一举成名.

作为这样一位科学巨人,在生活中,他并不是一个呆板的人.他性情温和,性格开朗,也喜欢交际.欧拉结过两次婚,有13个孩子.他热爱家庭的生活,常常和孩子们一起做科学游戏,讲故事.欧拉旺盛的精力和钻研精神一直坚持到生命的最后一刻.1783年9月18日下午,欧拉一边和小孙女逗着玩,一边思考着计算天王星的轨迹,突然,他从椅子上滑下来,嘴里轻声说：“我死了.”一位科学巨匠就这样停止了生命.历史上,能跟欧拉相比的人的确不多,也有的历史学家把欧拉和阿基米德、牛顿、高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家,依据是他们都有一个共同点,就是在创建纯粹理论的同时,还应用这些数学工具去解决大量天文、物理和力学等方面的实际问题,他们的工作是跨学科的,他们不断地从实践中吸取丰富的营养,但又不满足于具体问题的解决,而是把宇宙看作是一个有机的整体,力图揭示它的奥秘和内在规律.

由于欧拉出色的工作,后世的著名数学家都极度推崇欧拉.大数学家拉普拉斯(P.S.M.de Laplace,1749-1827)曾说过：“读读欧拉,这是我们一切人的老师.”被誉为数学王子的高斯也曾说过：“对于欧拉工作的研究,将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校,并且没有别的可以替代它.”