高数下册-二阶齐次线性微分方程

二阶齐次线性微分方程解结构表明,求二阶齐次线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0的通解,就是要找到它的两个线性无关的解y1,y2.即便是这样,对一般的二阶齐次线性微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0,这样的y1,y2也是不容易求出的.

这里仅讨论二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的求解方法.

对于求二阶常系数齐次线性微分方程式(8-25)即y″+py′+qy=0的通解,同样要找到它的两个线性无关的解y1,y2,如何求得这样的两个解呢?

由于指数函数y=erx(r为常数)的各阶导数均是erx与一个常数的乘积,而方程式(8-25)的特征是系数为常数,由此可知方程式(8-25)就具有形为y=erx的特解,其中r是待定常数,只要求出r,就能得到方程式(8-25)的一个特解.

为求出r,将y=erx代入方程式(8-25)即y″+py′+qy=0,有

视频103

(erx)″+p(erx)′+qerx=0, 即 erx(r2+pr+q)=0.

由于erx≠0,故得

可见,只要r是一元二次方程式(8-26)的根,则y=erx就是微分方程式(8-25)的解.

所以,求微分方程式(8-25)的解,就成为了求一元二次方程式(8-26)的根.为此,称一元二次方程式(8-26)为微分方程式(8-25)的特征方程,特征方程r2+pr+q=0的根称为微分方程式(8-25)的特征根.

特征方程r2+pr+q=0的根(特征根)有三种情形,下面对特征根的三种情形分别讨论.

1.特征方程r2+pr+q=0有两个不相等的实根.

特征方程r2+pr+q=0,当p2-4q＞0时,有两个不相等的实根,设为r1,r2(r1≠r2),此时微分方程式(8-25)有解y1=er1x和y2=er2x.

由于=e(r1-r2)x≠常数,所以,y1,y2是方程式(8-25)的两个线性无关的解,则微分方程式(8-25)的通解为

例8.17 求方程y″-3y′-10y=0的通解.

解 特征方程为

r2-3r-10=0,即(r-5)(r+2)=0,

得特征根：

r1=-2,r2=5,

所以,微分方程的通解为

y=c1e-2x+c2e5x (其中c1,c2是任意常数).

2.特征方程r2+pr+q=0有两个相等的实根(重根).

特征方程r2+pr+q=0,当p2-4q=0时,有两个相等的实根,并有.

此时,微分方程式(8-25)只能得到一个特解y1=er1x,要求出方程式(8-25)的通解,还需要找出一个与y1=er1x线性无关的另一个特解(即满足≠常数)y2.

由于要找的y2满足≠常数(既然不等于常数,就等于一个函数,可设为u(x)),因此有=u(x),y2=u(x)y1=u(x)er1x是方程式(8-25)的另一个特解,求得

将代入微分方程式(8-25),得

整理得

因为r1是特征方程r2+pr+q=0的重根,所以有+pr1+q=0.

又由于r1是特征方程r2+pr+q=0的重根,所以有,即2r1+p=0.

于是式(8-27)就是u″(x)=0.

这里表明,找到一个满足u″(x)=0的条件的u(x)即可求到一个y2,显然,只要取u(x)=x,所得y2=u(x)er1x=xer1x就是方程式(8-25)的与y1=er1x线性无关的另一个特解.

因此,当特征根r1=r2时,微分方程式(8-25)的通解为(https://www.xing528.com)

例8.18 求方程的通解.

解 因特征方程为

r2-4r+4=0,即(r-2)2=0,

得特征根为

r1=r2=r=2.

所以,方程的通解为

y=(c1+c2x)e2x(其中c1,c2是任意常数).

3.特征方程r2+pr+q=0是一对共轭的复数根.

特征方程r2+pr+q=0,当p2-rq＜0时,有一对共轭的复数根,设为

r1=α+βi,r2=α-βi,

这时,微分方程式(8-25)有两个复数特解和=e(α-βi)x.

虽然常数,但在实数范围内讨论和使用时不方便,为了便于在实数范围内解决问题,需要在实数范围内找到方程式(8-25)的两个线性无关的特解.

由欧拉公式

eiθ=cosθ+isinθ

可得

于是,就有

由定理8.1可知,y1=eαxcosβx及y2=eαxsinβx均为方程式(8-25)的解,且它们的比不等于常数,即y1,y2是方程式(8-25)的两个线性无关的解,因此,方程式(8-25)的通解就为

y=eαx(c1cosβx+c2sinβx) (其中c1,c2是任意常数).

例8.19 求方程y″-4y′+13y=0的通解.

解 因特征方程为

r2-4r+13=0,

可得它的根是一对共轭的复数根：

r1,2=2±3i.

所以,方程的通解为

y=e2x(c1cos3x+c2sin3x) (其中c1,c2是任意常数).

综上所述,求二阶常系数齐次线性微分方程y″+py′+qy=0的通解,步骤可归纳如下：

(1)写出对应的特征方程：r2+pr+q=0；

(2)求出特征根r1和r2；

(3)根据r1和r2的三种不同情形,按表8-1写出对应的通解.

表8-1

习题8-5答案