求解微分方程-可分离变量的微分方程

求解微分方程是本章的一个中心问题.本节将讨论两种形式的一阶微分方程的解法.

视频100

8.2.1　可分离变量的微分方程

由一阶微分方程的含义可知,一阶微分方程可用如下形式表示：

y′=f(x,y) 或 F(x,y,y′)=0.

特别地,具有形如

的方程,称为可分离变量的微分方程.

可分离变量的微分方程式(8-10)具有的特点是：在方程的右端为一个只含x的函数f(x)与一个只含y的函数g(y)的乘积.这里的f(x),g(y)分别是变量x,y的连续函数,且g(y)≠0.

由可分离变量的微分方程具有的这一特点,就可以将两个不同变量的函数与相应的微分分离到等号的两端,所以,这类方程的解法具体如下.

首先,把方程式(8-10)分离变量,得

对上式两边同时积分：

假设由不定积分能求得

则可得方程式(8-10)的通解为

G(y)=F(x)+c.

因这种解方程的方法在求解过程中具有分离变量的特点,所以称这种方法为分离变量法.

例8.6 求方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的通解.

解 方程可变形为

上式两边积分：

得

化简得方程的通解为

例8.7 求方程y′=1+y2-2x-2xy2满足初值条件y(0)=0的特解.

解 微分方程可变形为

所以有

对上式两边积分：

得

arctany=x-x2+c.

由初值条件y(0)=0知,当x=0时,y=0,代入上式,可得

c=0.

故所求特解为

arctany=x-x2 或 y=tan(x-x2).

8.2.2　一阶线性微分方程

具有形如

的方程称为一阶线性微分方程.

方程式(8-11)具有的特点是：未知函数y及其导数y′都是一次的.

若Q(c)≡0,方程式(8-11)成为

称方程式(8-12)为一阶齐次线性微分方程.

若Q(x)≠0,称方程式(8-11)为一阶非齐次线性微分方程.方程式(8-12)还称为方程式(8-11)所对应的一阶齐次线性微分方程.

1.一阶齐次线性微分方程的解法

从微分方程式(8-12)可以看出,一阶齐次线性微分方程是可分离变量方程.分离变量,得

两边积分,得

为了方便讨论,记为P(x)的一个原函数,c1为任意常数,则由上式可得

记c=±ec1,且可验证y=0也是方程式(8-12)的解,所以,方程式(8-12)的通解为

由于上述通解形式的简化过程常常会用到,为此,在求解微分方程的解时,可以约定简化写法如下：

在求解过程中,将ln|y|写成lny,将c1写成lnc,最后结果中c为任意常数.(www.xing528.com)

例8.8 求方程(x2y-2xy)dx+xdy=0满足初值条件的特解.

解 方程可变形为

是一阶齐次线性微分方程,由公式(8-13)得方程通解为

将初值条件代入上述通解,可求得c=1,故所求的特解为

2.一阶非齐次线性微分方程的解法

在前面我们得到的式(8-13)是方程式(8-11)的特殊情况Q(x)=0[即方程式(8-12)]时的通解,显然,不论式(8-13)中的c取任何常数值,都只能是方程式(8-12)的解,而不可能是方程式(8-11)的解.但由于方程式(8-11)与方程式(8-12)的关系,可以想象,两个方程在解的关系上是具有联系的.

由此,如果假设方程y′+P(x)y=Q(x)具有式(8-13)形式的解,则其中的c自然不可能再是常数,而应该是x的函数,如果设为c(x),则只要确定c(x)这个函数,就可求得方程式(8-11)即y′+P(x)y=Q(x)的解.

由上述分析,设方程y′+P(x)y=Q(x)的解为

于是有

将式(8-14)、式(8-15)代入方程y′+P(x)y=Q(x),得

即也即c′(x)=Q(x)e∫P(x)dx.

积分可得

将这里所求得的c(x)代入式(8-14),就得一阶非齐次线性微分方程式(8-11)的通解公式为

通解公式(8-16)是通过把对应的齐次线性方程通解中的任意常数c变易为待定函数c(x),然后求出c(x),得出非齐次线性方程的通解.因此,这种方法称为常数变易法.

将式(8-16)展开,方程y′+P(x)y=Q(x)的通解还可以表示为

式(8-17)表明：方程y′+P(x)y=Q(x)的通解可由两部分组成：

第一部分是对应方程的齐次线性方程y′+P(x)y=0的通解,第二部分则是方程y′+P(x)y=Q(x)的通解中,取c=0的一个特解,也就是方程y′+P(x)y=Q(x)的一个特解.

由此可见,一阶非齐次线性微分方程的通解,等于其对应的一阶齐次线性微分方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和.这是一阶非齐次线性微分方程的解的结构.

例8.9 求方程2y′-y=ex的通解.

解法一 方程可变形为

对应的齐次方程为

由分离变量法,得该齐次线性微分方程的通解为

可设所给非齐次线性微分方程的解为

因为,

将y′和y代入方程2y′-y=ex,就有

所以

因此,方程2y′-y=ex的通解为

解法二 方程变形为

此时

由公式(8-16)得方程的通解为

即通解为

例8.10 求方程的通解.

解 该方程不是关于的线性方程,但能变形为

方程就成了关于的线性方程.因此,可利用类似于前面讨论的常数变易法或公式来求解.

解法一 用公式求解

解法二 用常数变易法求解

方程对应的齐次方程的通解为

设x=c(y)y,代入方程得

c′(y)=y,

所以

故方程的通解为

此例说明,有些方程虽然不是关于的线性方程,但如果把x看成是y的函数,方程是关于的线性方程时,也可以利用常数变易法或公式(8-16)来求解.