高数下册2版：函数展开成幂级数方法

7.4节讨论了幂级数的收敛域及和函数的求法,由此可知,一个幂级数在其收敛域内,能用其和函数表示,如

幂级数

但在实际应用中,往往需要解决与之相反的问题：给定的一个函数f(x),要寻找一个幂级数使其和函数恰为f(x).这一问题称为把函数展开成为幂级数.

对任意给定的函数f(x),是否都可以展开为幂级数?即f(x)应具备什么条件才能展开为幂级数?怎样展开为幂级数?这是本节要讨论的问题.

视频96

7.5.1　泰勒级数和麦克劳林级数

对给定的函数f(x),如果幂级数在x0的某邻域(x0-r,x0+r)内的和函数为f(x),即

则称函数f(x)在点x=x0处可展开为幂级数,且式(7-5)[或式(7-5)右端的幂级数]称为函数f(x)在点x=x0处的幂级数展开式.

函数f(x)满足什么条件时才可以展开为幂级数呢?

如果一个函数f(x)在点x=x0处可展开成幂级数,即如果式(7-5)成立,则由幂级数逐项求导性质,得

将x=x0代入上述各式,得

即有.

由此可见,如果函数f(x)在点x=x0处可展开成幂级数,那么,在x0的某邻域内f(x)必存在任意阶导数,且其展开式必为下列幂级数：

我们称幂级数(7-6)为函数f(x)的泰勒级数,该展开式就称为f(x)的泰勒展开式.

而如果f(x)在(x0-r,x0+r)内的任意阶导数都存在,那么,按照上面的方法,总可以作出f(x)的泰勒级数(7-6).假设级数(7-6)的和函数为s(x),那么,s(x)与f(x)是否恒等呢?不一定；也就是说,s(x)与f(x)有可能恒等,也可能仅在x=x0一点处相等.那么,在什么情况下,s(x)与f(x)恒等呢?如下定理给出了结论.

定理7.8 (初等函数展开定理)设f(x)是一个在(x0-l,x0+l)内有任意阶导数的初等函数,则f(x)在点x=x0处可展开成幂级数,且有展开式

其中,r=min{l,R},R是式(7-7)右端幂级数的收敛半径.

定理表明：对于初等函数来说,它的泰勒级数就是它的幂级数展开式.

特别地,当x0=0时,式(7-7)就变为

式(7-8)被称为f(x)为麦克劳林展开式,式(7-8)右端的级数称为f(x)的麦克劳林级数.

实际上,麦克劳林级数是泰勒级数当取x0=0时的特殊情形,为了简便,通常使用函数的麦克劳林展开式,即x的幂级数展开式.因此,本书主要讨论当x0=0时将函数展开成麦克劳林级数的方法.而当x0≠0时,可以令F(t)=f(x0+t),即t=x-x0,通过作变量代换成为前者的形式后,求得F(t)在点t=0处的幂级数展开式,就求得f(x)在点x=x0处的展开式.

视频97

7.5.2　函数的幂级数展开

把初等函数f(x)展开成x的幂级数,一般有直接展开法和间接展开法两种.由定理7.8知,直接展开法一般可按如下步骤进行：

(1)求出f(x)在点x=0处的各阶导数f(n)(0)及2,3,…).这里我们要说明两点,一是0!=1,这是约定的；二是f(0)(0)=f(0).

(2)写出函数f(x)的麦克劳林级数

(3)求出式(7-9)的收敛半径R(或收敛区间)及f(x)的任意阶导数存在的区间(-l,l),令r=min{R,l},则展开式(7-9)在(-r,r)内成立；再考察当x=±r时,式(7-9)是否成立.

例7.18 求指数函数f(x)=ex的麦克劳林展开式.

解 因为所给函数是初等函数,且各阶导数为

f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=ex

所以可求出 f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=e0=1

因此根据式(7-8)我们可以求出所给函数的麦克劳林展开式为

从展开式中可以看出,这其实就是一个关于x的幂级数,由于

所以这个幂级数的收敛域为(-∞,+∞),且有

那么,展开式(7-10)有什么作用呢?在这里,它至少有两个方面的作用.

作用1：可以间接帮助我们求解幂级数的和函数,即

而这个和函数可以帮助我们求解收敛级数(a＞0)[例7.11(2)]的和数,即

作用2：我们可以得到初等函数f(x)=ex的另一种表达形式,从而获得研究这个初等函数的另一个平台,即(www.xing528.com)

比如我们在上册书中提到e≈2.718281828459045…是一个无理数,那么,这个无理数是如何计算出来的呢?

其实,通过上式,我们可以看到

如果我们只取前面8项来计算的话,可以得到

显然,取得项数越多,就越接近2.718281828459045…

因此,把初等函数展开成x的幂级数,对我们研究初等函数和寻找幂级数的和函数都有很大的帮助.

例7.19 将正弦函数f(x)=sinx展开成x的幂级数

解 从例7.18可以知道,这里仍然是求初等函数的麦克劳林展开式

因为

当n取0,1,2,3,…时,f(n)(0)=0,1,0,-1,

因此根据式(7-8)我们可以求出所给函数的麦克劳林展开式为

同样我们可以求出上述的幂级数的收敛域为(-∞,+∞),所以

例7.20 将f(x)=(1+x)m展开为x的幂级数(其中m为任意实数).

解 因为f(x)=(1+x)m,f′(x)=m(1+x)m-1,

所以

又因f(x)=(1+x)m为初等函数,所以

由,可知式(7-12)中右端级数的收敛半径为R=1.而f(x)=(1+x)m在(-1,1)内存在任意阶导数,因此,在(-1,1)内,式(7-12)成立,但在区间的端点(即x=±1),式(7-12)是否成立呢?要视m的数值来确定.

根据式(7-12),当m分别取时,可以得到下面三个常见的展开式：

当m取正整数时,式(7-12)就是代数学中的二项式定理.

从上面的讨论可以看出,用直接展开法将函数展开为幂级数,要逐项计算出系数这往往是比较麻烦的,这就需要掌握另一种方法——间接展开法.

所谓间接展开法,就是利用一些已知展开式的函数,通过幂级数的运算性质及变量代换等,将所给函数展开成幂级数.

例7.21 把f(x)=cosx展开为x的幂级数.

解 因+… x∈(-∞,+∞),

视频98

两边求导数,可得

例7.22 求f(x)=ln(1+x)的麦克劳林展开式.

解 因

所以

为了便于间接求解初等函数的幂级数展开式,我们把一些常用的重要的初等函数的幂级数展开式汇总如下：

例7.23 将展开为x的幂级数.

解 设x2=t,则因为

所以

例7.24 将f(x)=(1+x)ln(1+x)展开为x的幂级数.

解法一 由式(7-17),得

解法二 因f′(x)=1+ln(1+x),由式(7-17),得

由式(7-11)和式(7-13),得

因此