高等数学·下册（第2版）：空间直角坐标系

6.1.1　空间直角坐标系的定义

用类似于建立平面直角坐标系的方法可以建立空间直角坐标系.

过空间一点O,作三条具有相同单位长度、两两互相垂直的数轴Ox,Oy,Oz,这样就构成了空间直角坐标系,记作O-xyz.

点O称为坐标原点；轴Ox,Oy,Oz统称为坐标轴,分别叫做横轴、纵轴和竖轴(常分别称为x轴、y轴、z轴).

一般情况下,规定轴Ox,Oy,Oz的正方向遵循右手系法则,即以右手握住Oz轴,拇指指向其正方向,四个手指从Ox轴正方向以角度转向Oy轴正方向(图6-1).

视频76

建立了空间直角坐标系后,空间中的点就与由三个实数组成的有序数组之间有了一一对应的关系.

设M为空间中的任一点,过点M分别作垂直于三个坐标轴的三个平面,与x轴、y轴和z轴依次交于A,B,C三点.若这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x,y,z,则点M就唯一确定了一个有序数组(x,y,z),如图6-2所示.

反之,若给定一个有序数组(x,y,z),总可在x轴、y轴、z轴上分别取坐标为x、y、z的三个点A、B、C,过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面,这三个平面必交于点M,该点就是以有序数组(x,y,z)为坐标的点,因此,空间中的点M就与有序数组(x,y,z)之间建立了一一对应的关系.

图6-1

图6-2

事实上：A,B,C这三点是过M点作三个坐标轴的垂线的垂足.

数组(x,y,z)称为点M在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,x,y,z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.点M可记作M(x,y,z).

每两个坐标轴所决定的平面称为坐标平面,分别把它们叫做xOy平面、yOz平面、zOx平面；这三个平面将空间划分成八个部分,称为空间直角坐标系的八个卦限,分别称为第一卦限,第二卦限,……,第八卦限(图6-3).

图6-3

例6.1 在空间直角坐标系O-xyz中,作出点P(2,4,2),并求出P关于xOy面的对称点Q,P关于yOz面的对称点R,P关于x轴的对称点S的坐标.

解 先在xOy面上作出坐标为(2,4,0)的点P′,过P′作z轴的平行线,在这平行线上沿z轴正向取点P,使|P′P|=2,则作出P(2,4,2)点；在这平行线上沿z轴负向取点Q,使|P′Q|=2,则Q点即为所求,其坐标为Q(2,4,-2)；过P′在xOy面上作P′R′平行于x轴,使R′的坐标为R′(-2,4,0),过R′作z轴的平行线,在这平行线上沿z轴正向取点R,使|R′R|=2,则得到R点坐标为R(-2,4,2)；过P′在xOy面上作P′S′平行于y轴,使S′的坐标为S′(2,-4,0),又过S′作z轴的平行线,在这平行线上沿z轴负向取点S,使|S′S|=2,

图6-4

则得到S点,其坐标为S(2,-4,-2)(图6-4).

例6.2 求点A(2,3,4)到xOy平面及x轴的距离.

解 如图6-5所示,过点A作AP⊥xOy平面,垂足为点P,则点A到xOy平面的距离即为点A的竖坐标的绝对值,即点A到xOy平面的距离为|AP|=4.

图6-5

过P作PB⊥x轴,垂足为B,由三垂线定理知AB⊥x轴,即|AB|为点A到x轴的距离.而在直角三角形APB中

6.1.2　空间两点间的距离

建立了空间直角坐标系后,容易推导出空间两点间的距离公式.

设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点,则M1与M2之间的距离为(www.xing528.com)

事实上,过点M1和M2各作三个平面分别垂直于三条坐标轴,在x轴、y轴、z轴上的交点依次为P1,P2,Q1,Q2,R1,R2,六个平面围成一个以M1M2为对角线的长方体,线段M1P,M1Q,M1R是它的三条棱,如图6-6所示.

因为d2=|M1M2|2=|M1P|2+|M1Q|2+|M1R|2

=|P1P2|2+|Q1Q2|2+|R1R2|2.

而由图6-6可知,

OP1=x1,OP2=x2,|P1P2|=|x2-x1|.

同理

OQ1=y1,OQ2=y2,|Q1Q2|=|y2-y1|,

OR1=z1,OR2=z2,|R1R2|=|z2-z1|,

所以

d2=|M1M2|2=|P1P2|2+|Q1Q2|2+|R1R2|2

=|x2-x1|2+|y2-y1|2+|z2-z1|2,

即

式(6-1)称为空间两点间的距离公式.

特别地,空间任一点M(x,y,z)与坐标原点O(0,0,0)的距离为

例6.3 设A(-1,2,0)与B(-1,0,-2)为空间两点,求A与B两点间的距离.

解 由公式(6-1)可得A与B两点间的距离为

例6.4 求证：以A(7,1,2),B(4,3,1),C(5,2,3)为顶点的三角形是等腰三角形.

证明 由式(6-1)得

由于,所以,△ABC是等腰三角形.

例6.5 在y轴上求与点A(1,-3,7)和点B(5,7,-5)等距的点M.

解 由于所求的点M在y轴上,因而点M的坐标可设为(0,y,0).又由于

由式(6-1)得

从而解得

y=2,

即所求的点为M(0,2,0).