循环连分数与Pell方程的关系

本节介绍循环连分数的基本性质，并考虑其在解Pell方程中的应用.

定义8.2.1　设β=＜a1，a2，…＞是无限简单连分数.记

（1）称β为纯循环简单连分数，若存在正整数k使得对任意正整数i，都有ai+k=ai.显然，这样的k是不唯一的，这种k的最小值记为kβ，称其为β的周期.此时，记

（2）称β为循环简单连分数，若存在正整数m使得βm为纯循环简单连分数.显然，这样的m也是不唯一的，这种m的最小值记为mβ，称其为β的指数.另外，将的周期称为β的周期，仍记为kβ.当mβ≥2时，记

关于循环连分数，有下面的欧拉-拉格朗日定理.该定理的必要性是由欧拉于1737年证明的，而充分性则是由拉格朗日于1770年给出的.

定理8.2.2　设β=＜a1，a2，…＞是无限简单连分数.则β是循环简单连分数当且仅当β是某个整系数二次多项式的无理根.

下面举例说明定理8.2.2.事实上，仿照下例中的方法可以证明定理8.2.2的必要性.

例8.2.3　设.则mα=2，kα=2，且，α=＜3，α2＞=＜3，1，2，α4＞=＜3，1，2，α2＞.首先计算

据定理8.1.5知

故

这表明α2-4α+1=0，从而α是整系数方程x2-4x+1=0的无理根（因为α是无限简单连分数）.事实上，α=2+解毕.

作为连分数的重要应用，本节最后讨论佩尔方程x2-dy2=±1的解法，这里d是正整数且不是平方数.这类方程是以英国数学家佩尔（Pell，1611—1683）的名字命名的，但实际上真正对这类方程的研究做出突出贡献的是费马、拉格朗日及欧拉等人.易见，对这类方程，只需关心它们的正整数解.对此，有如下定理.

定理8.2.4　设d是正整数且不是平方数.则是无理数.据定理8.1.1（4）及定理8.2.2知可唯一的表示为循环简单连分数.记该循环简单连分数的周期为k，各渐近分数为

（1）当k是奇数时，x2-dy2=1的全部正整数解为

此时，（p2k，q2k）是x2-dy2=1的最小正整数解；而x2-dy2=-1的全部正整数解为

此时，（pk，qk）是x2-dy2=-1的最小正整数解.

（2）当k是偶数时，x2-dy2=-1无解，而x2-dy2=1的全部正整数解为

此时，（pk，qk）是x2-dy2=1的最小正整数解.

例8.2.5　求不定方程x2-73y2=±1的全部正整数解.

解　用例8.1.3的方法可求得周期为7.据定理8.1.5（1）知

据定理8.2.4（1）知x2-73y2=1的全部正整数解为(www.xing528.com)

而x2-dy2=-1的全部正整数解则为

例8.2.6　求不定方程x2-14y2=±1的全部正整数解.

解　用例8.1.3的方法可求得周期为4.据定理8.1.5（1）知

故由定理8.2.4（2）知x2-14y2=1的全部正整数解为

而x2-14y2=-1则无解.解毕.

当d较小时，要求x2-dy2=1的解，可以用试验的方法，也就是将y=1，2，3，4，…等带入1+dy2计算，直到得到一个平方数，这时就求出了最小正解.

例8.2.7　求方程x2-2y2=±1的全部正整数解.

解　当y=1时，1+2y2=3不是平方数；当y=2是1+2y2=1+8=9是平方数.故（3，2）是x2-2y2=1的最小正解.据定理8.2.4可知其全部正整数解为

另外，容易看出，（1，1）是x2-2y2=-1的最小正解.据定理8.2.4可知其全部正整数解为

例8.2.8　求方程x2-3y2=-2的全部正整数解.

解　显然（1，1）是该方程的正整数解.设（a，b）是上述方程的正整数解且（a，b）=（1，1）.则

进而有

这表明据等式（8.2.1）及（a，b）≠（1，1）知b＞1，从而

于是就是x2-3y2=1正整数解.容易看出（2，1）是x2-3y2=1的最小正整数解.据定理8.2.4知存在正整数n使得

故

另一方面，设a，b，n是正整数且则

于是

从而（a，b）是x2-3y2=-2的正整数解.由以上讨论可知，

｛（a，b）|a，b∈Z，a＞0，b＞0，），n是非负整数｝是方程x2-3y2=-2的全部正整数解.解毕.