初等数论基础阶的概念及性质

本节介绍阶的概念及其简单性质.

定义7.1.1　设a，m∈Z，m＞1，（a，m）=1.则使得aδ≡1（modm）成立的最小正整数δ叫做a对模m的阶.

注7.1.2　由欧拉定理，在上述定义的假设条件下，恒有aφ（m）≡1（modm）.这表明阶的定义是合理的.显然，a对模m的阶最大为φ（m）.

定理7.1.3　设a对模m的阶为δ，γ，γ′∈Z，γ，γ′≥0.则

特别的，aγ≡1（modm）当且仅当δ|γ.

证明　设aγ≡aγ′（modm）.不妨设γ＞γ′而γ-γ′=qδ+u，0＜u＜δ.则

故由（a，m）=1知于是au≡1（modm）.这与δ是a对模m的阶矛盾.故δ|γ-γ′.

反之，设γ≥γ′且γ-γ′=qδ.则

故结论成立.证毕.

由欧拉定理及定理7.1.3立得以下结论.(www.xing528.com)

推论7.1.4　若a对模m的阶为δ，则δ|φ（m）.

命题7.1.5　若a对模m的阶是αβ，其中α，β∈Z，α，β＞0，则aα的阶为β.

证明　由（a，m）=1知（aα，m）=1.这表明aα对模m的阶是存在的，设其对模m的阶是为δ.则（aα）δ=aαδ≡1（modm）.注意到a对模m的阶是αβ，故αβ≤αδ，从而β≤δ.另一方面，由a对模m的阶是αβ知（aα）β=aαβ≡1（modm），但aα对模m的阶是δ，故δ≤β.这就证明了β=δ.证毕.

命题7.1.6　设a对模m的阶是α，b对模m的阶是β.若（α，β）=1，则ab对模m的阶是αβ.

证明　由（a，m）=1=（b，m）知（ab，m）=1.于是ab对模m的阶是存在的，设其对模m的阶为δ.一方面，由a对模m的阶是α，b对模m的阶是β知

aα≡bβ≡1（modm）.

这导致（ab）αβ≡1（modm），进而有δ≤αβ.另一方面，由ab对模m的阶为δ知（ab）δ≡1（modm），注意到b对模m的阶是β，有

aδβ≡aδβ（bβ）δ=（ab）δβ≡1（modm）.

因为a对模m的阶是α，据定理7.1.3知α|δβ.但（α，β）=1，故α|δ.对偶可证β|δ.最后由（α，β）=1知αβ|δ.这就证明了δ=αβ.证毕.