初等数论基础：雅可比符号的性质和证明

上节的讨论表明，利用勒让德符号和二次互反定律，可以判定奇素数模的二次二项同余方程解的情况.但用互反定律时需要将符号上方化为标准分解式，但这又没有统一的办法.克服这一缺点的方法是引入下面的雅可比符号［这是以德国数学家雅可比（Jacobi，1804—1851）的名字命名的］.

定义6.4.1　设m是大于1的奇数且m=p1p2…pt，诸pi为奇素数.对任意a∈Z，定义a对m的雅可比符号

其中诸　是a对pi的勒让德符号.显然，当m是素数时，a对m的雅可比符号就是a对m的勒让德符号.易见，若（a，m）=1，则a对m的雅可比符号等于0.

雅可比符号具有与勒让德符号类似的运算性质.为陈述这些性质，需要以下基本事实.

引理6.4.2　设u，v是正奇数.则

命题6.4.3　设m是大于1的奇数且m=p1p2…pt，诸pi为奇素数，a，b∈Z.

证明　　　（1）由a≡b（modm）知a≡b（modpi），i=1，2，…，t.据定理6.3.2（2）知

由雅可比符号之定义立得结论.

（2）由雅可比符号之定义及定理6.3.2（3），（4）立得结论.

（3）据定理6.3.2（3）及雅可比符号之定义，只需证

奇偶性相同，即

对t用归纳法.显然，t=1时成立.设结论对t-1的情形成立，即

下考虑t的情况.注意到p1p2…pt-1及pt是正奇数，据引理6.4.2之第1款得(www.xing528.com)

故t的情况结论也成立.由归纳法原理，条款（3）成立.

（4）与（3）类似，利用引理6.4.2之第2款及数学归纳法可证本结论.

（5）由条款（2）及雅可比符号的定义立得.证毕.

定理6.4.4　设m，n均为大于1的奇数.则

证明　当（m，n）≠1时，上述等式两边均为0，结论成立.下设（m，n）=1.记m=p1p2…ps，n=q1q2…qt，其中诸pi及qj均为奇素数.则（pi，qj）=1.据雅可比符号之定义及命题6.4.3（2），有

据高斯二次互反定律，

另外，据（6.4.1），有

故　证毕.

如前所述，当m是素数时，整数a对m的雅可比符号就是a对m的勒让德符号，而雅可比符号也具有勒让德符号的类似性质.这样，在计算勒让德符号时可将其作为雅可比符号来计算.在雅可比符号中，没有了对符号下方数字必须为素数的要求，这就使得相关计算非常方便，避开了求标准分解式的困难.

例6.4.5　计算勒让德符号　

解　将这个勒让德符号当做雅可比符号计算，由雅可比符号的性质，

这与上节得到的结果一样.解毕.