初等数论基础：分数和小数的互化

本节利用欧拉定理讨论分数（指的是有理分数）和小数（指的是有理小数，即整数，有限小数和无限循环小数）的互化问题.要讨论这一问题，只需对大于0小于1的有理数讨论即可.先考虑小数化分数的方法.显然，有限小数的情形是简单的.下面通过几个具体例子来考虑无限循环小数的情况.

例4.4.1　将纯循环小数和化为分数.

解　记则故又记则

故解毕.

例4.4.2　将混循环小数和化为分数.

解　记则于是990x=215-2=213.故又记则于是900y=318.故解毕.

注4.4.3　通过上述例子，读者不难自行总结出化循环小数为分数的一般方法.

现考虑分数化小数的问题.分数化小数，方法上没有问题，直接除一下就行了.需要关注的问题是，什么样的分数可化为有限小数（纯循环小数，混循环小数）？下述三个定理完整地回答了这一问题.

定理4.4.4　设a，b∈Z，0＜a＜b，（a，b）=1.则可化为有限小数当且仅当b=2α5β，其中α，β是不全为零的非负整数.

证明　若则经约分后（有必要的话），必存在不全为零的非负整数α，β使得

由（a，b）=1知a=u，b=2α5β.反之，设b=2α5β，其中α，β是不全为零的非负整数.不妨设α≥β.则

故是有限小数.证毕.

定理4.4.5　设a，b∈Z，0＜a＜b，（a，b）=1.则可化为纯循环小数当且仅当（b，10）=1.此时，循环节的长度是min｛x∈Z|x＞0，10x≡1（modb）｝.

证明　设其循环节的长度为s.记

则于是（10s-1）a=qb.由（a，b）=1知b|10s-1，即10s≡1（modb）.这导致s∈｛x∈Z|x＞0，10x≡1（modb）｝.特别的，有（b，10）=1.

反之，设（b，10）=1.则由欧拉定理知10φ（b）≡1（modb）.故可令

t=min｛x∈Z|x＞0，10x≡1（modb）｝.(www.xing528.com)

于是10t≡1（modb），进而10ta≡a（modb），即b|10ta-a.设10ta-a=qb.则

故可记

其中0≤ai≤9，i=1，…，t且诸ai不全为9.由10ta-a=qb知

反复利用上式即得的循环节的长度为s且s＜t.则据上一段的证明可知s∈｛x∈Z|x＞0，10x≡1（modb）｝.这与t的最小性矛盾.故的循环节的长度为t.证毕.

定理4.4.6　设a，b∈Z，0＜a＜b，（a，b）=1.则可化为混循环小数当且仅当b=2α5βb1，其中b1≠1，（b1，10）=1，α，β是不全为零的非负整数.此时，可表示为不循环位数为max｛α，β｝，循环节长度为t=min｛x∈Z|x＞0，10x≡1（modb1）｝的混循环小数.

证明　注意到有理正真分数包括有限小数，无限纯循环小数和无限混循环小数三部分这一事实，由定理4.4.4和4.4.5知本定理前一部分成立.下证后半部分.不妨设α≤β并记2β-αa=qb1+a1，0≤a1＜b1.容易证明a1≠0且（a1，b1）=1.考虑

显然0≤q＜10β.由定理4.4.5及（b1，10）=1，设其中

记q=10β-1m1+10β-2m2+…+mβ，0≤mi≤9，i=1，2，…，β.则

下证数字m1，m2，…，mβ不可能参与循环.事实上，设ν＜β.据定理4.4.5，记

故存在w∈Z使得从而10νav1=bw.注意到

这是不可能的.故在中m1，m2，…，mβ不能参与循环.证毕.

例4.4.7　将和化为小数.

解　由（7，10）=1及定理4.4.5知可化为纯循环小数.注意到

据定理4.4.5知的循环节的长度为6.经简单计算知

由事实

及定理4.4.6知可表示为一个不循环位数为2，循环节长度为6的混循环小数.经简单计算可知解毕.