初等数论基础|理解莫比乌斯函数

本节介绍另一个重要的积性函数，即莫比乌斯函数.这个函数是以德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790—1868）的名字命名的.

定义2.3.1　定义在正整数集上的函数

称为莫比乌斯函数.前面几个正整数的莫比乌斯函数值是

μ（1）=1，μ（2）=-1，μ（3）=-1，μ（4）=0，μ（5）=-1，μ（6）=1.

命题2.3.2　莫比乌斯函数是积性函数.

证明　由定义知莫比乌斯函数满足积性函数的定义之第1款.设a，b是互素的正整数.若a，b中有一个是1或有一个能被某素数的平方整除，则显然有μ（ab）=μ（a）μ（b）.若a，b分别为r个和s个两两不同的素数乘积，则由a，b互素知ab是r+s个两两不同的素数乘积.此时也有

μ（ab）=（-1）r+s=（-1）r（-1）s=μ（a）μ（b）.

这证明了莫比乌斯函数也满足积性函数的定义之第2款.证毕.(www.xing528.com)

定理2.3.3　设f（x）是积性函数，a＞1且a的标准分解式为则

证明　由f和μ是积性函数及命题2.2.4知g（x）=μ（x）f（x）也是积性函数.据莫比乌斯函数的定义，有这表明据定理2.2.5便知结论成立.证毕.

推论2.3.4　设a是正整数.则

证明　在定理2.3.3中取函数f（x）=1，则可知对任意大于1的整数a，均有

当a=1时，据莫比乌斯函数之定义立得

故结论成立.证毕.

注2.3.5　莫比乌斯函数有许多好的性质，在数论中有众多应用.有兴趣的读者可参看本节和下节的习题以及有关书籍，例如文献［1，2，3，5，7，10］等.