初等数论基础：素数定理、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的成果

本节主要介绍关于素数分布的一些经典结果和猜想.上节指出，素数有无穷多个.下面的素数定理更精确地表达了正整数中素数的个数.对任意正整数x，用π（x）表示不大于x的所有素数的个数.

定理1.5.1（素数定理）　设x是正整数，则

素数定理是德国数学家高斯于1792年在大量计算的基础上首先提出来的；同时，法国数学家勒让德（Legendre，1752—1833）也于1808年独立地预测到了这条定理，但两人都没能给出证明.首先对素数定理的证明作出实质性贡献的是俄罗斯数学家切比雪夫（Chebyshev，1821—1894）.他证明了对任意正整数x，有x/5lnx＜π（x）＜5x/lnx.在前人工作的基础上，1896年，法国数学家阿达玛（Hadamard，1865—1963）及比利时数学家普桑（Poussin，1866—1962）按照德国数学家黎曼（Riemann，1826—1866）的思想，用复分析的方法各自独立地证明了素数定理.应该说，素数定理的复分析证明是相当复杂的.那么，素数定理是否存在初等证明？很长一段时间内，人们认为是不存在的.然而，这种认识在1949年被改写了.这一年，美籍挪威数学家塞尔伯格（Selberg，1917—2007）和匈牙利数学家厄多斯（Erdos，1913—1996）令人震惊地给出了素数定理的初等证明！正是由于这项工作，塞尔伯格和厄多斯分别于1950年和1983年获得菲尔兹奖（Fields Medal）和沃尔夫数学奖（Wolf Prizein Mathematics）.

众所周知，正整数可分为奇数和偶数两部分，也可分为1、素数和合数三部分.那奇数、偶数和素数之间有什么关联呢？显然，除2以外，所有素数都是奇数；奇数个奇素数的和必为奇数；两个奇素数的和是偶数.反过来，自然要问：是不是每一个奇数都能写成奇数个（特别的，3个）素数的和？是不是每个偶数都能写成两个奇素数的和？这就是著名的哥德巴赫猜想.这个猜想是德国数学家哥德巴赫（Goldbach，1690—1764）在1742年给瑞士数学家欧拉的信中首先提出来的.1900年，它被德国大数学家希尔伯特（Hilbert，1862—1943）作为1900年国际数学家大会报告的第8个问题的一部分（希尔伯特第8个问题还包括著名的黎曼猜想和下文要介绍的孪生素数猜想等）重新提出.

猜想1.5.2（哥德巴赫猜想）　每个大于等于6的偶数都是两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数都是三个奇素数之和.

显然，在上述哥德巴赫猜想中，后一论断是前一论断的直接推论.按照相关文献，称前一论断为偶数哥德巴赫猜想，而称后一论断为奇数哥德巴赫猜想.

从18世纪到20世纪初，哥德巴赫猜想的研究没有任何进展.事实上，哥德巴赫猜想的研究是从20世纪20年代有所进展的.为方便叙述，用a+b来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因数个数分别不超过a和b.显然，偶数哥德巴赫猜想就可以写成1+1.

先叙述偶数哥德巴赫猜想的研究历程.首先迈出具有决定意义的一步的是挪威数学家布朗（Brun，1885—1978），他在1920年证明了9+9；1924年，德国数学家拉德马赫（Rademacher，1892—1969）证明了7+7；1932年，英国数学家埃斯特曼（Estermann）证明了6+6；1937年，意大利女数学家蕾西（Ricei）先后证明了5+7，4+9，3+15和2+366；1938年，苏联数学家布赫夕太勃（Byxwrao）证明了5+5；1938年我国数学家华罗庚（1910—1985）证明了偶数哥德巴赫猜想对几乎所有的偶数成立.也就是说，若用M（x）表示不超过实数x的又不能表示成两个奇素数之和的偶数的个数，则(www.xing528.com)

1940年，苏联数学家布赫夕太勃又证明了4+4；1957年，我国数学家王元证明了2+3.但是，上面所证结果有一个共同的弱点，就是其中的两个数没有一个可以肯定是素数.于是，又有人开辟了另一个战场，即设法证明1+c.1948年，匈牙利数学家瑞尼（Renyi）证明了1+r，其中r是一个很大的自然数，但瑞尼只是证明了r的存在性，而等于多少则是未知的.故这只是个定性的结果.1962年，我国数学家潘承洞（1934—1997）和苏联数学家巴尔巴恩（Bapoa H）独立证明了1+5；同年，我国数学家王元和潘承洞又独立证明了1+4；1965年，苏联数学家布赫夕太勃、小维诺格拉多夫（BHHopappB）及意大利数学家朋比利（Bombieri）独立证明了1+3；1966年，我国数学家陈景润（1933—1996）证明了1+2.陈景润的结果一发表，就在国内外数学界引起了强烈反响，被誉为“陈氏定理”.这是偶数哥德巴赫猜想迄今为止最好的结果.

定理1.5.3（陈景润定理）　每一个充分大的偶数都可以表示为一个素数和一个不超过2个素数的乘积之和.

相对于解决偶数哥德巴赫猜想的异常困难，奇数哥德巴赫猜想目前已得到解决.首先，1923年，英国数学家哈代（Hardy，1877—1947）和李得尔伍德（Littlewood，1885—1977）在广义黎曼（Riemann）猜想成立的前提下证明了奇数哥德巴赫猜想对所有足够大的奇数成立；1997年，德国数学家德西霍勒（Deshouillers），瑞典数学家埃芬格（Effinger），荷兰数学家瑞尔特（te Riele）与英国数学家季诺维也夫（Zinoviev）证明，在广义黎曼猜想成立的前提下奇数哥德巴赫猜想是完全成立的.这一结果由两部分构成，其一是证明了大于1020时奇数哥德巴赫猜想成立，而小于此数的情况则由计算机验证得到.另一方面，1937年，苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradov，1891—1983）无条件地证明了奇数哥德巴赫猜想对所有足够大的奇数成立，但无法定出下界；1956年，苏联数学家博罗兹金（Borozdin）证明下界可取3315.2002年，我国数学家廖明哲与王天泽把下限降至e3100，但这个下界仍然超出了计算机验证的范围.2012年到2013年，秘鲁数学家赫尔夫戈特（Helfgott）发表了两篇论文，将这个下界降至了约1030.赫尔夫戈特的同事普拉特（Platt）用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想，从而完成了奇数哥德巴赫猜想的全部证明.

最后，了解下孪生素数猜想.孪生素数就是指相差2的素数对，例如3和5、5和7、11和13等等.长期以来数学家们普遍猜测，孪生素数的情形与素数类似，虽然其分布随着数字的增大而越来越稀疏，总数却是无穷的.这就是与哥德巴赫猜想齐名，集令人惊异的表述简单性与令人惊异的证明复杂性于一身的著名猜想——孪生素数猜想.这个猜想也是希尔伯特（Hilbert）在1900年国际数学家大会上的报告的第8个问题的一部分.

猜想1.5.4　（孪生素数猜想）存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数.

究竟是谁最早明确地提出这一猜想似乎已不可考证，但1849年法国数学家波林那克（Polignac，1817—1890）曾提出过一个猜想：对于任意偶数2k，存在无穷多组以2k为间隔的素数.这一猜想被称为波林那克猜想.对于k=1，它就是孪生素数猜想.因此人们有时把波林那克作为孪生素数猜想的提出者.1966年，我国数学家陈景润证明了，存在无穷多个素数p，使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积.2013年5月，华人数学家张益唐的论文Boundedgapsbetweenprimes在《数学年刊》（Annals of Mathematics）上发表，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形势，即发现存在无穷多差小于7000万的素数对.这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对.在张益唐的结果发表后，数学家们已经将素数对的差值从7000万改进到了246.张益唐教授认为这个结果仍可以改进，但要最终完成孪生素数猜想的证明，将差值突破到2，还需要走新的道路.