初等数论基础：求多个整数最小公倍数的方法

本节讨论整数的最小公倍数.与最大公因数情形一样，先考虑两个整数的情况.

定义1.3.1　设a，b是非零整数，d∈Z.称d为a，b的公倍数，若a|d，b|d.称a，b的正公倍数之最小者为a，b的最小公倍数，记作［a，b］.

下面的命题是显然的.

命题1.3.2　设a，b是非零整数.则

（1）［a，1］=|a|，［a，a］=|a|.

（2）［a，b］=［b，a］.

（3）a|b⇒［a，b］=|b|.

（4）［a，b］=［|a|，|b|］.

上述命题1.3.2指出，求两个非零整数的最小公倍数的问题可归结为求两个正整数的最小公倍数的问题.下面的定理揭示了最大公因数和最小公倍数的关系.

定理1.3.3　设a，b是正整数.则a，b的所有正公倍数是

证明　显然，集合M中的数都是a，b的正公倍数.反之，设正整数c满足a|c，b|c.则存在正整数x，y，使得c=ax=by.于是　由推论1.2.11知(www.xing528.com)

据命题1.2.9（4），有　记则故c∈M.证毕.

推论1.3.4　设a，b是非零整数.则［a，b］=且a，b的任意公倍数均是［a，b］的倍数.特别的，若（a，b）=1，则［a，b］=|a||b|.

结合命题1.2.10，有以下结论.

推论1.3.5　设a，b是非零整数而m是正整数，则［ma，mb］=m［a，b］.

与最大公因数一样，最小公倍数也可推广到多个非零整数的情况.

定义1.3.6　设a1，a2，…，ak∈Z（k≥2）且均不为零.若ai|d，i=1，2，…，k，称d∈Z是a1，a2，…，ak的公倍数，而a1，a2，…，ak的正公倍数之最小者称为a1，a2，…，ak的最小公倍数，记作［a1，a2，…，ak］.

下述命题将求多个整数的最小公倍数的问题归结为求两个整数的最小公倍数的问题，其证明留作习题.

命题1.3.7　设a1，a2，…，ak∈Z（k≥2）且均不为零.记

m1=a1，［mj-1，aj］=mj，j=2，3，…，k.

则［a1，a2，…，ak］=mk.