《线性代数学习辅导》-教材习题详解及正交矩阵验证

1.设，c与a正交，且b=λa+c，求λ和c.

解 以a^T左乘题设关系式得

a^Tb=λa^Ta+a^Tc，

因a与c正交，有a^Tc=0；a≠0，有a^Ta≠0，故得

从而

2.试用施密特法把下列向量组正交化：

解

3.下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由：

解 （1）不是，因为第1个列向量不是单位向量；

（2）是，因为此矩阵的3个列向量构成规范正交基，即它们两两正交，并且都是单位向量.

4.设x为n维列向量，x^Tx=1，令H=E-2xx^T，证明：H是对称的正交阵.

证 对称性：H^T=（E-2xx^T）T=E-2xx^T=H.

正交性：H^TH=H² （由H的对称性）

=（E-2xx^T）（E-2xx^T）

=E-4xx^T+4（xx^T）（xx^T）

=E-4xx^T+4x（x^Tx）x^T=E （由x^Tx=1）.

5.设A与B都是n阶正交阵，证明：AB也是正交阵.

证法一 因（AB）（AB）T=（AB）（B^TA^T）

=A（BB^T）A^T

=AA^T （由BB^T=E）

=E （由AA^T=E），由定义，知AB是正交阵.

证法二 因A，B是正交阵，故A，B均可逆，且A^-1=A^T，B^-1=B^T.于是AB可逆，且有

（AB）-1=B^-1A^-1=B^TA^T=（AB）^T，

从而AB是正交阵.

6.求下列矩阵的特征值和特征向量：

解 （1）A的特征多项式为

所以A的特征值为λ₁=λ₂=λ₃=-1（三重根）.

对于特征值-1，解方程（A+E）x=0.由

得对应的特征向量

（2）A的特征多项式为

所以A的特征值为λ₁=-1，λ₂=0，λ₃=9.

当λ₁=-1时，解方程（A+E）x=0.由

得对应的特征向量；

当λ₂=0时，解方程Ax=0.由

得对应的特征向量；

当λ₃=9时，解方程（A-9E）x=0.由

得对应的特征向量.

（3）A的特征多项式为

所以A的特征值为λ₁=λ₂=-1，λ₃=λ₄=1.

当λ₁=λ₂=-1时，解方程（A+E）x=0.由

得对应的线性无关的特征向量

当λ₃=λ₄=1时，解方程（A-E）x=0.由

得对应的线性无关的特征向量

7.设A²-3A+2E=O，证明：A的特征值只能取1或2.

证 设λ是A的特征值，则λ²-3λ+2是A²-3A+2E=O的特征值.但是，零矩阵只有特征值0，故λ²-3λ+2=0得λ=1或λ=2.

注 本题并不是说A必须有特征值1和2，例如，当A=E时，满足题设条件，但A只有特征值1.

8.设A为正交阵，且|A|=-1，证明：λ=-1是A的特征值.

证 由特征方程的定义，

λ=-1是A的特征值⇔|A+E|=0，因此，只需证|A+E|=0.由A为正交阵，知A^TA=E，则

|A+E|=|A+A^TA|=|（E+A^T）A|=|E+A^T·A|=|（A+E）^T|·|A|

=|A+E|·|A|=-|A+E|

⇒2|A+E|=0⇒|A+E|=0.

9.设λ≠0是m阶矩阵A_m×nB_n×m的特征值，证明：λ也是n阶矩阵BA的特征值.

证 根据特征值的定义证明.

设λ是矩阵AB的任一非零特征值，是对应于它的特征向量.即有

AB=λ. （5-3）用矩阵B左乘上式两边，得

（BA）B=λ（B），

若B≠0，则由特征值定义知，λ是矩阵BA的特征值.下面证明B≠0.事实上，由λ≠0，特征向量≠0，有λ≠0，再由式（5-3）得AB≠0，因此B≠0.

10.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，求|A³-5A²+7A|.

解 设φ（λ）=λ³-5λ²+7λ.因1，2，3是A的特征值，故φ（1）=3，φ（2）=2，φ（3）=3是φ（A）=A³-5A²+7A的特征值.又因为φ（A）是3阶方阵，于是φ（1），φ（2），φ（3）是φ（A）的全部特征值.由特征值性质得

|A³-5A²+7A|=|φ（A）|=φ（1）φ（2）φ（3）=3×2×3=18.

11.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，求|A^*+3A+2E|.

解 由特征值性质，得|A|=1×2×（-3）=-6≠0，知A可逆，故A^*=|A|A^-1=-6A^-1，并且

A^*+3A+2E=-6A^-1+3A+2E.

把上式记作φ（A），有φ（λ）=-6λ^-1+3λ+2.因为当λ（≠0）为A的特征值时，-6λ^-1+3λ+2是A^*+3A+2E的特征值.分别取λ=1，2，-3知-1，5，-5是A^*+3A+2E的特征值.注意到A^*+3A+2E为3阶方阵，故|A^*+3A+2E|=（-1）×5×（-5）=25.

12.设A，B都是n阶矩阵，且A可逆，证明：AB与BA相似.

证 因A可逆，故

BA=（A^-1A）BA=A^-1（AB）A，

由定义，AB与BA相似.

13.设矩阵可相似对角化，求x.

解 先求A的特征值

得 λ₁=λ₂=1（二重根），λ₃=6（单重根）.

对应单根λ₃=6，可求得线性无关的特征向量恰有1个，故矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根λ₁=λ₂=1，有2个线性无关的特征向量，即方程（A-E）x=0有2个线性无关的解，亦即系数矩阵A-E的秩R（A-E）=1（由教材中第四章的定理4.7）.由

要R（A-E）=1，得x-3=0，即x=3.因此，当x=3时，矩阵A能对角化.

14.已知是矩阵的一个特征向量.

（1）求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；

（2）问A能不能相似对角化？并说明理由.

解 （1）利用特征值和特征向量的定义.

设p所对应的特征值是λ，则由题设，（A-λE）p=0，即

于是，得到以a，b，λ为未知数的线性方程组

（2）A不能相似于对角阵.理由是：当a=-3，b=0时，求得矩阵A的特征多项式f（λ）=A-λE=-（λ+1）3，故λ=-1是A的三重特征值.但A+E≠O，从而R（A+E）≥1，故齐次方程（A+E）x=0没有3个线性无关的解.于是，矩阵A对应于特征值λ=-1没有3个线性无关的特征向量.由方阵相似于对角阵的充要条件（见教材中的定理5.6）知，A不能相似于一个对角阵.

15.设，求A100.

解 利用矩阵A的相似对角阵来求A¹⁰⁰.

（1）求A的特征值：

所以A的特征值为λ₁=-5，λ₂=1，λ₃=5，并且它们各不相同，由教材中定理5.6之推论，知A可对角化.

（2）对应λ₁=-5，解方程（A+5E）x=0.由

得对应的特征向量；

对应λ₂=1，解方程（A-E）x=0.由

得对应的特征向量；

对应λ₃=5，解方程（A-5E）x=0.由

得对应的特征向量

（3）令，

则由定理5.4，P为可逆阵，且

于是 A=PΛP^-1⇒A¹⁰⁰=PΛ¹⁰⁰P-1.

求出，得

16.试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵：

解 （1）先求特征值：

所以A的特征值为λ₁=-2，λ₂=1，λ₃=4.

再求特征向量：

对应λ₁=-2，解方程（A+2E）x=0.由

得基础解系，将1单位化，得单位特征向量；

对应λ₂=1，解方程（A-E）x=0.由

得基础解系，将2单位化，得单位特征向量；

对应λ₃=4，解方程（A-4E）x=0.由

得基础解系，将3单位化，得单位特征向量

令，

则P为正交阵，且有

（2）先求特征值：

所以A的特征值为λ₁=10，λ₂=λ₃=1（二重根）.

再求特征向量：

对应λ₁=10，解方程（A-10E）x=0.由

得基础解系，将1单位化，得单位特征向量；

对应λ₂=λ₃=1，解方程（A-E）x=0.由

得基础解系.将2，3正交化得：

再将_η2，η3单位化得.

令

则P为正交阵，且有

17.设矩阵与相似，求x，y；并求一个正交阵P，使P^-1AP=Λ.

解 先求x，y.

因A与Λ相似，故A的特征值是5，-4，y.由特征值性质：

5+（-4）+y=A的特征值之和

=A的对角元之和=2+x得y=1+x.

因λ=-4是A的特征值，有A+4E=0.由

得x=4.再代入y=1+x，得y=5.于是A的特征值为λ₁=λ₃=5，λ₂=-4.

再求正交阵P.

对应λ₁=λ₃=5，解方程（A-5E）x=0.由

得基础解系.将1，3正交化得：

再将η₁，η₃单位化得；

对应λ₂=-4，解方程（A+4E）x=0.由

得基础解系，将2单位化，得单位特征向量.

令，则P为正交阵，且有

注 （1）在寻找x，y的关系式时，题解中用了A的对角元之和=Λ的对角元之和以及|A+4E|=0，也可利用特征值的另一性质：|A|=A的特征值之积=Λ的特征值之积=|Λ|，得3x+8=4y.但由|A-5E|=0不能得到x，y的关系式，因|A-5E|≡0.

（2）因相似对角阵Λ是给定的，所以要注意P中列向量的排列必须与Λ中的对角元对应.

18.设3阶方阵A的特征值为λ₁=2，λ₂=-2，λ₃=1；对应的特征向量依次为

求A.

解 因A的特征值互异，故由教材中的定理5.4，知向量组p₁，p₂，p₃线性无关，于是，若记矩阵P=（p₁，p₂，p₃），则P为可逆阵，且有

容易求得.于是

19.设3阶对称阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=1，λ₃=0；对应λ₁，λ₂的特征向量依次为

求A.

解 因A对称，故由教材中的定理5.9，必有正交阵Q=（q₁，q₂，q₃），使

显然q₁，q₂可依次取为p₁，p₂的单位化向量，即

由教材中的定理5.8，q₃与p₁，p₂正交，于是q₃可取为方程

的单位解向量.由

可知.于是

20.在某国，每年有比例为p的农村居民移居城镇，有比例为q的城镇居民移居农村，假设该国总人口数不变，且上述人口迁移的规律也不变.把n年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x_n和y_n（x_n+y_n=1）.

（1）求关系式中的矩阵A；

（2）设目前农村人口与城镇人口相等，即，求.

解 （1）由题设，有，，

用矩阵表示为，故.

（2）由可知，即该问题归结为求Aⁿ.

由，得A的特征值为λ₁=1，λ₂=1-p-q.(www.xing528.com)

对应于特征值λ₁=1的特征向量为；

对应于特征值λ₂=1-p-q的特征向量为.

令，则P可逆，且，其中，r=1-p-q.因此

故，其中，r=1-p-q.

21.（劳动力就业转移）某城市共有30万人从事农、工、商各行业的工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明：

（1）在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业，而6万人经商.

（2）在从事农业的人员中，每年约有20%改为从事工业，10%改为经商.

（3）在从事工业的人员中，每年约有20%改为从事农业，10%改为经商.

（4）在经商的人员中，每年约有10%改为从事农业，10%改为从事工业.

预测一两年后从事各行业人员的人数，以及经过多年之后，从事各行业人员总数的发展趋势.

解 若用三维向量x_n表示第n年后从事这三种职业的人员总数（单位：万人），则由题

设，xn=Ax_n-1，其中，.因此

要求经过多年之后从事各行业人员总数的发展趋势，首先求Aⁿ.

于是A的特征值为λ₁=1，λ₂=0.7，λ₃=0.5.

对应特征值λ₁=1，解方程（A-E）x=0.由

得特征向量，单位化得；

对应特征值λ₂=0.7，解方程（A-0.7E）x=0.由

得特征向量，单位化得；

对应特征值λ₃=0.5，解方程（A-0.5E）x=0.由

得特征向量，单位化得.

令，则P是正交阵，由A是对称阵得P^TAP=，因此，从而

当n→∞时，

22.（1）设，求φ（A）=A¹⁰-5A⁹；

（2）设，求φ（A）=A¹⁰-6A⁹+5A⁸.

解 因为A是对称矩阵，故正交相似于对角阵.

（1）由，得A的特征值为λ₁=1，λ₂=5.

对应特征值λ₁=1，解方程（A-E）x=0得单位特征向量为；

对应特征值λ₂=5，解方程（A-5E）x=0得单位特征向量为.

令，则P是正交阵，且有

其中，φ（x）=x¹⁰-5x⁹，φ（1）=-4，φ（5）=0.

于是A的特征值为λ₁=-1，λ₂=1，λ₃=5.

因为A是对称阵，故存在正交矩阵Q=（1，2，3），使

故A=QΛQ^T，且Q的列向量i是对应特征值λ_i的单位特征向量（i=1，2，3）.从而

其中，φ（x）=x¹⁰-6x⁹+5x⁸，φ（-1）=12，φ（1）=0，φ（5）=0.这样，只需计算1，即对应特征值λ₁=-1的单位特征向量，代入上式得φ（A）.

解方程（A+E）x=0，由

得特征向量，单位化得，故

23.用矩阵记号表示下列二次型：

（1）f=x²+4xy+4y²+2xz+z²+4yz；

（2）f=x²+y²-7z²-2xy-4xz-4yz；

（3）f=x²₁+x²₂+x²₃+x²₄-2x₁x₂+4x₁x₃-2x₁x₄+6x₂x₃-4x₂x4.

解 （1）；

（2）；

（3）.

24.求一个正交变换把下列二次型化成标准形：

（1）f=2x²₁+3x²₂+3x²₃+4x₂x₃；

（2）f=x²₁+x²₃+2x₁x₂-2x₂x3.

解 （1）二次型f的矩阵为，它的特征多项式为

所以A的特征值为λ₁=1，λ₂=2，λ₃=5.

对应特征值λ₁=1，解方程（A-E）x=0，由

得特征向量，单位化得；

对应特征值λ₂=2，解方程（A-2E）x=0，由

得单位特征向量；

对应特征值λ₃=5，解方程（A-5E）x=0，由

得特征向量，单位化得p.

令P=（p₁，p₂，p₃），则P是正交阵，作正交变换x=Py，即

便把f化为标准形f=y²₁+2y²₂+5y²3.

（2）二次型f的矩阵为，它的特征多项式为

所以A的特征值为λ₁=2，λ₂=1，λ₃=-1.

对应特征值λ₁=2，解方程（A-2E）x=0，由

得特征向量，单位化得；

对应特征值λ₂=1，解方程（A-E）x=0，由

得特征向量，单位化得；

对应特征值λ₃=-1，解方程（A+E）x=0，由

得特征向量，单位化得.

令P=（p₁，p₂，p₃），则P是正交阵，作正交变换x=Py，即

便把f化为标准形f=2y²₁+y²₂-y²_3.

25.求一个正交变换把二次曲面的方程

3x²+5y²+5z²+4xy-4xz-10yz=1

化成标准方程，并指出该方程表示什么曲面？

解 记二次曲面为f=1，则f为二次型，它的矩阵为

所以A的特征值为λ₁=0，λ₂=2，λ₃=11.

对应特征值λ₁=0，解方程Ax=0，由

得特征向量，单位化得；

对应特征值λ₂=2，解方程（A-2E）x=0，由

得特征向量，单位化得；

对应特征值λ₃=11，解方程（A-11E）x=0，由

得特征向量，单位化得.

令P=（p₁，p₂，p₃），则P是正交阵，作正交变换x=Py，即

在此变换下，二次曲面的方程化为标准方程2v²+11w²=1，它表示椭圆柱面.

26.证明：二次型f=x^TAx在x=1时的最大值为矩阵A的最大特征值.

证 设λ₁≥λ₂≥…≥λ_n为A的n个特征值，因为A是对称阵，故有正交变换x=Qy，使

f（x）=y^TQ^TAQy=y^TΛy=λ₁y²₁+λ₂y²₂+…+λ_ny²_n.

又x²=x^Tx=y^TQ^TQy=y^Ty=y²，

从而

另一方面，取y₀=e₁=（1，0，…，0）T，即y₀是第1个分量为1的单位坐标向量，再令x₀=Qy₀，则‖x₀‖=‖y₀‖=1，且二次型f在x₀处的值为

f（x₀）=y^T₁Λy₀=λ_1.

综合以上知maxf（x）=λ_1.

‖x‖=1

27.用配方法化下列二次型成标准形，并写出所用变换的矩阵：

（1）f（x₁，x₂，x₃）=x²₁+3x²₂+5x²₃+2x₁x₂-4x₁x₃；

（2）f（x₁，x₂，x₃）=x₁x₂+x₁x₃-3x₂x_3.

解 （1）由于f中含变量x₁的平方项，故把含x₁的项归并起来，配方可得

f=x²₁+2x₁x₂-4x₁x₃+3x²₂+5x²₃

=（x₁+x₂-2x₃）2-x²₂-4x²₃+4x₂x₃+3x²₂+5x²₃

=（x₁+x₂-2x₃）2+2x²₂+4x₂x₃+x²₃，

再对后面含有x₂的项配方，可得

f=（x₁+x₂-2x₃）2+2（x₂+x₃）2-x²3.

令，，即，，，，

写成矩阵形式：x=Cy，这里.在此可逆变换下，就把f化成标准形f=y²₁+2y²₂-y²3.

（2）在f中不含有平方项，由于含有交叉项x₁x₂，故可先作可逆线性变换

代入可得f=y²₁-2y₁y₃-y²₂+4y₂y₃，再配方，得f=（y₁-y₃）2-（y₂-2y₃）2+3y²3.

令 即

就把f化成标准形f=z²₁-z²₂+3z²_3.所用变换为x=Cz，其中

28.设f=x²₁+x²₂+5x²₃+2ax₁x₂-2x₁x₃+4x₂x₃为正定二次型，求a.

解 二次型f的矩阵为

由赫尔维茨定理（教材中的定理5.13），A正定且A>0.

由；

由综上可知，当时，A正定，从而f正定.

29.判别下列二次型的正定性：

（1）f=-2x²₁-6x²₂-4x²₃+2x₁x₂+2x₁x₃；

（2）f=x²₁+3x²₂+9x²₃-2x₁x₂+4x₁x3.

解 （1）f的矩阵为，它的一阶主子式a₁₁=-2<0；2阶主子式；3阶主子式，即A=-38<0.根据赫尔维茨定理知f为负定二次型.

（2）f的矩阵为，它的一阶主子式a₁₁=1>0；2阶主子式；3阶主子式，即A=6>0.根据赫尔维茨定理知f为正定二次型.

30.证明对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆矩阵U，使A=U^TU，即A与单位阵E合同.

证 充分性：若存在可逆矩阵U，使A=U^TU，任取x∈Rⁿ，x≠0，就有Ux≠0，且A的二次型在该处的值

f（x）=x^TAx=x^TU^TUx=[Ux，Ux]=Ux²>0，

即矩阵A的二次型是正定的，从而A是正定矩阵.

必要性：因为A是对称矩阵，故必存在正交阵Q，使

Q^TAQ=Λ=diag（λ₁，λ₂，…，λ_n），

其中，λ₁，λ₂，…，λn是A的全部特征值.由A正定，知λ_i>0（i=1，2，…，n）.记对角阵Λ₁=diag，则有

从而

A=QΛQ^T=QΛ₁Λ₁Q^T=QΛ₁（QΛ₁）^T.

记U=（QΛ₁）^T，显然U可逆，且由上式知A=U^TU.

实验5

1.设向量组，将其正交规范化.

解 程序设计如下：

Q的前3列就是所要求的规范正交向量组.

注 设A是m×n矩阵，当m=n时，输出的变元Q是n阶正交矩阵，其列组就是待求的规范正交向量组，R是一个n阶可逆的上三角矩阵.当n<m时，输出的变元R是一个m×n行阶梯形矩阵，而Q是m阶正交矩阵，在Q中取前n列，就是待求的规范正交向量组.

2.将矩阵对角化，但不用eig函数，而用poly，roots和null函数分步作业.

解 在MATLAB编辑器中建立M文件如下：

运行结果为：

可逆矩阵为

对角矩阵为

3.用正交变换将二次型f=x²₁+x²₂+x²₃+x²₄+2x₁x₂-2x₁x₄-2x₂x₃+2x₃x₄化为标准形.

解 在MATLAB编辑器中建立M文件如下：

运行结果为：

正交矩阵为

对角矩阵为

标准化的二次型为

f=

-y1^2+y2^2+y3^2+3*y4^2

4.假设在一个大城市中的总人口是固定的，人口的分布则因居民在市区和郊区之间的迁徙而变化.每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区.若开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问10年、30年及50后市区和郊区的居民人口比例是多少？最终的变化趋势又如何？

解 这个问题可以用矩阵乘法来描述.第n年后市区和郊区的居民人口比例构成二维向量，记作x_n，则

用下列MATLAB程序进行计算：

为求x_n，先求A的特征值和特征向量，在MATLAB编辑器中建立M文件如下：

运行结果为：

由实验结果可以看到，将x₀用A的两个线性无关的特征向量线性表示，表示式为x₀=0.75p₁-0.05p₂，因

Ap₁=p₁，Ap₂=0.92p₂，故x_n=Aⁿx₀=0.75p₁-0.05·0.92ⁿp2.

显然，当n→∞时，