线性代数学习辅导：单元测试题解答

1.单项选择题

（1）设3阶矩阵A的特征值为0，1，2，那么R（A+E）+R（A-E）为（ ）.

（A）2； （B）3； （C）4； （D）5.

（2）设A为n阶方阵，且A^k=O（k为正整数），则（ ）.

（A）A=O； （B）A有一个不为零的特征值；

（C）A的特征值全为零； （D）A有n个线性无关的特征向量.

（3）设方阵A与B相似，则（ ）.

（A）A-λE=B-λE；

（B）A与B有相同的特征值和特征向量；

（C）A与B都相似于一个对角阵；

（D）对任意常数t，A-tE与B-tE相似.

（4）设，则A与B（ ）.

（A）合同且相似； （B）合同但不相似；

（C）不合同但相似； （D）既不合同也不相似.

（5）设A为4阶实对称矩阵，且A²+A=O.若A的秩为3，则A相似于（ ）.（2010年，考研，数学一）

（6）二次型f（x₁，x₂，x₃）=（λ-1）x²₁+λx²₂+（λ+1）x²₃满足（ ）时是正定的？

（A）λ>-1； （B）λ>0； （C）λ>1； （D）λ≥1.

2.将向量组a₁=（1，1，0，0）T，a₂=（0，1，0，0）T，a₃=（1，0，-1，1）T，a₄=（0，1，1，1）T单位正交化.

3.设A为正交矩阵，证明：A*为正交矩阵.

4.设矩阵的一个特征向量为，求a，b的值及向量α所对应的特征值.

5.设3阶矩阵A的特征值为1，-1，2，B=A³-5A²，求B.

6.设A为3阶矩阵，且|E-A|=0，|E+A|=0，|3E-2A|=0，（1）求A的特征值；（2）求A的行列式A.

7.设4阶矩阵A满足|A+3E|=0，AA^T=2E，|A|<0，求A*的一个特征值，这里A*为A的伴随矩阵.

8.设A为n阶矩阵，若存在正整数k，使A^k=O（称这样的矩阵为幂零矩阵），证明：

（1）|A+E|=1；

（2）A相似于对角矩阵的充要条件是A=O.

9.设，且A的特征值为λ₁=6，λ₂=λ₃=2，问当x取何值时，A可相似对角化.

10.设矩阵与相似，

（1）求a和b；

（2）求可逆阵P，使P^-1AP=Λ.

11.设3阶实对称矩阵A的秩为2，且λ₁=λ₂=6是A的二重特征值，若α₁=（1，1，0）T，α₂=（2，1，1）T都是A的对应于特征值6的特征向量，

（1）求A的另一个特征值和对应的特征向量；

（2）求矩阵A.

12.设，已知A的一个特征值为1，

（1）求x；（2）求正交矩阵Q，使得Q^TAQ为对角矩阵.

13.已知二次型

f（x₁，x₂，x₃）=5x²₁+5x²₂+cx²₃-2x₁x₂+6x₁x₃-6x₂x₃的秩为2，求：

（1）参数c及此二次型对应矩阵的特征值；

（2）指出方程f（x₁，x₂，x₃）=1表示何种曲面.

14.如果A为n阶正定矩阵，证明：kA（k>0）和A^T也是正定矩阵.

15.设A为m阶正定矩阵，B为m×n阶矩阵，证明：B^TAB为正定矩阵的充要条件是R（B）=n.

16.设为正定矩阵，求a的取值范围.(www.xing528.com)

参考答案

1.（1）D，提示：A+E的特征值为1，2，3⇒R（A+E）=3，A-E的特征值为-1，0，1⇒R（A-E）=2.

（2）C，提示：设λ为A的特征值，则λ^k为A^k的特征值，由于A^k=O，故λ^k=0，从而λ=0.

（3）D，提示：由P^-1AP=B⇒P^-1（A-tE）P=B-tE.

（4）A，提示：易求得A的特征值是3，0，0.

（5）D，提示：设λ₁，λ₂，λ₃，λ₄是A的特征值，由A²+A=O知，A的特征值是方程λ²+λ=0的根，于是λ₁，λ₂，λ₃，λ₄只可能为0或-1，由于R（A）=3，所以这些特征值仅有一个为0，其余均为-1.

（6）C，提示：二次型是正定的，其标准形的系数应全为正，即应有λ-1>0，λ>0，λ+1>0，解得λ>1.

3.提示：由于A为正交矩阵，根据正交矩阵的性质，有A=±1≠0，知A可逆，而由AA^*=A^*A=AE知A^*=AA^-1，因此，

A^*（A^*）T=（AA^-1）（AA^-1）T=A²A^-1（A^-1）T=A²（A^TA）-1=E.由定义知，A^*为正交矩阵.

4.提示：设α所对应的特征值为λ，则Aα=λα，即

整理得，从而有，因此λ=-4，a=-2，b=6.

5.B=-288.

6.提示：（1）A-E=（-1）3E-A=0，A-（-E）=E+A=0，

3，则A的特征值为λ₁=1，λ₂=-1，λ₃=.

2

（2）

7.提示：由题设知-3为A的一个特征值；AA^T=2⁴E⇒A=-4，从而A*

=AA^-1=-4A^-1的一个特征值为

8.提示：（1）A的特征值全为0⇒A+E的特征值全为1；

（2）充分性显然；必要性：若A相似于对角阵Λ，则Λ一定是零矩阵，于是，P^-1AP=O⇒A=O.

9.提示：矩阵A可对角化的充分必要条件是对应于二重特征值2有两个线性无关的特征向量，即方程（A-2E）x=0有两个线性无关的解，亦即系数矩阵A-2E的秩R（A-2E）=

1，由此可推得x=-2.

10.（1）提示：由于矩阵A与Λ相似，有-2+a+1=-1+2+b，又因为-1是A的特征值，即A+E=0，解得a=0，进而b=-2.

（2）

11.提示：（1）易知α₁，α₂为A的对应于特征值6的线性无关的特征向量，由于R（A）=2，可知A=0，因此A的另一个特征值为λ₃=0.

设对应于特征值0的特征向量为α₃，则由α^T₁α₃=0和α₂^Tα₃=0，得α₃=（-1，1，1）T，从而对应于特征值0的全部特征向量为kα₃（k≠0）.

（2）令，则P^-1AP=Λ=diag（6，6，0），从而

12.提示：（1）由于A的一个特征值为1，故A-E=0，解得x=2；

（2）

13.提示：（1）该二次型对应的矩阵为

由于R（A）=2，因此A=24c-72=0，得c=3.

当c=3时，A的特征多项式

所以A的特征值为λ₁=0，λ₂=4，λ₃=9.

（2）令，则P是正交阵，作正交变换使二次型f在新变量y₁，y₂，y₃下成为标准形f=4y²₂+9y²_3.

当f=4y²₂+9y²₃=1时，它表示椭圆柱面.

14.提示：设A的n个特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，则kA的特征值为kλ₁，kλ₂，…，kλ_n.由于A正定，所以A的n个特征值λ₁，λ₂，…，λ_n都为正，故当k>0时，kλ₁，kλ₂，…，kλ_n也都为正，从而kA正定.又正定阵A是对称的，故A^T=A也是正定矩阵.

15.提示：

B^TAB为正定矩阵⇔x≠0，x^T（B^TAB）x>0⇔x≠0，（Bx）TA（Bx）>0

⇔方程组Bx=0只有零解（因为A是正定矩阵）⇔R（B）=n.

16.a>2.