线性代数学习辅导二次型化标准形及合同变换

（1）二次型的定义及其矩阵表示

称n个变量x₁，x₂，…，x_n的二次齐次函数

f（x₁，x₂，…，x_n）=a₁₁x²₁+a₂₂x²₂+…+a_nnx²_n+2a₁₂x₁x₂+2a₁₃x₁x₃+…+2a_n-1，nx_n-1x_n（其中，a_ij是实系数，i，j=1，2，…，n）为n元二次型.

令a_ji=a_ij，A=（a_ij）n×n，x=（x₁，x₂，…，xn）T，那么上列二次型的矩阵形式为

f（x）=x^TAx，对称矩阵A称为二次型f的矩阵，f称为对称矩阵A的二次型.对称阵A的秩称为二次型f的秩.

（2）二次型研究的主要问题是：寻求可逆线性变换x=Cy，使

f（Cy）=y^TC^TACy=k₁y²₁+k₂y²₂+…+k_ny²_n.这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形.(www.xing528.com)

（3）对于n阶矩阵A和B，若有可逆阵C，使B=C^TAC，则称矩阵A与B合同.把A化为B的变换称为合同变换.

对二次型f（x）=x^TAx作可逆线性变换x=Cy，相当于对对称阵A作合同变换；把二次型化成标准形相当于把对称阵A用合同变换化成对角阵，即寻求可逆阵C，使C^TAC=diag（k₁，…，k_n）.

（4）给定二次型f（x）=x^TAx（A^T=A），存在正交变换x=Py，使

f（Py）=y^TP^TAPy=y^TΛy=λ₁y²₁+λ₂y²₂+…+λ_ny²_n，其中，λ₁，λ₂，…，λn是对称矩阵A的n个特征值.

（5）配方法是化二次型成标准形的一种较方便的方法.