B组能由A组线性表示，A组不能由B组线性表示

时间：2023-10-18 理论教育版权反馈

【摘要】：1.设向量组证明：B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示.证设A=（a1，a2，a3），B=（b1，b2，b3）.利用B组能由A组线性表示R（A）=R（A，B）；A组不能由B组线性表示R（B）

1.设向量组

证明：B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示.

证设A=（a₁，a₂，a₃），B=（b₁，b₂，b₃）.利用B组能由A组线性表示⇔R（A）=R（A，B）；A组不能由B组线性表示⇔R（B）<R（B，A）.

可见，R（A）=R（A，B）=3，所以B组能由A组线性表示.

由矩阵（A，B）的行阶梯形，可知，继续将右边的矩阵化成行阶

梯形：

得R（B）=2<R（B，A）=3，故A组不能由B组线性表示.

注若所作的初等行变换不同，则所得到的矩阵行阶梯形也不同.但矩阵的秩不变，它就是矩阵的行阶梯形中非零行的行数.

2.设向量组

证明：A组与B组等价.

证设A=（a₁，a₂），B=（b₁，b₂，b₃），利用A组与B组等价⇔R（A）=R（A，B）=R（B）.

可得R(A)=R（A，B）=2．又R（B）≤R（A，B）=2，而B中有一个2阶子式-3≠0，所以R（B）≥2，即R(B)=2，于是R(A)=R（A，B）=R(B)=2，故4组与B组等价．

注求矩阵B的秩，也可以利用矩阵的初等行变换.

3.判断下列向量组的线性相关性：

解（1）令矩阵，利用A的值是否为零，确定矩阵A的秩判断.

因为，所以R（A）<3，故向量组（1）线性相关；

（2）令矩阵，利用初等行变换求矩阵A的秩判断.

可得R（A）=3，所以向量组（2）线性无关.

4.设，问a为何值时，向量组a₁，a₂，a₃线性相关？当a为何值时，向量组a₁，a₂，a₃线性无关？

解法一令，因为

当a=9时，有A=0，得R（A）<3，所以向量组a₁，a₂，a₃线性相关；

当a≠9时，有A≠0，得R（A）=3，所以向量组a₁，a₂，a₃线性无关.

解法二由，若向量组a₁，a₂，a₃线性相关，则R（A）<3，得a=9；若向量组a₁，a₂，a₃线性无关，则R（A）=3，得a≠9.

5.举例说明下列命题是错误的：

（1）若向量组a₁，a₂，…，a_m线性相关，则a₁可由a₂，…，a_m线性表示.

（2）若有不全为0的数λ₁，λ₂，…，λ_m，使等式

λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m+λ₁b₁+λ₂b₂+…+λ_mb_m=0成立，则a₁，a₂，…，a_m线性相关，b₁，b₂，…，b_m也线性相关.

（3）若只有当λ₁，λ₂，…，λ_m全为0时，等式

λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m+λ₁b₁+λ₂b₂+…+λ_mb_m=0才成立，则a₁，a₂，…，a_m线性无关，b₁，b₂，…，b_m也线性无关.

（4）若a₁，a₂，…，a_m线性相关，b₁，b₂，…，b_m也线性相关，则有不全为0的数λ₁，λ2，…，λm，使等式

λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m=0，λ₁b₁+λ₂b₂+…+λ_mb_m=0同时成立.

解（1）该命题是错误的，反例：设向量组.由于向量组含零向量，所以线性相关.但a₁不能由a₂线性表示.

（2）该命题是错误的，反例：设向量组和向量组.显然，存在不全为0的数λ₁=1，λ₂=1，使得等式

λ₁a₁+λ₂a₂+λ₁b₁+λ₂b₂=0

成立.但由于a₁与a₂对应分量不成比例，所以向量组a₁，a₂线性无关.同理，向量组b₁，b₂也线性无关.

（3）该命题是错误的，反例：设向量组和向量组显然，若等式

成立，当且仅当λ₁=λ₂=0.但向量组a₁，a₂线性相关，向量组b₁，b₂也线性相关.

注若只有当λ₁，λ₂，…，λ_m全为0时，等式

λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_m+λ₁b₁+λ₂b₂+…+λ_mb_m=0

才成立，则说明向量组a₁+b₁，a₂+b₂，…，a_m+b_m线性无关.

（4）该命题是错误的，反例：设向量组和向量组显然，向量组a₁，a₂线性相关，向量组b₁，b₂也线性相关.但若使等式

同时成立，则λ₁=λ₂=0.即不存在不全为0的数λ₁，λ₂，使得上面两个等式同时成立.

6.设b₁=a₁+a₂，b₂=a₂+a₃，b₃=a₃+a₄，b₄=a₄+a₁，证明：向量组b₁，b₂，b₃，b₄线性相关.

证法一因为向量b₄=b₁-b₂+b₃，由向量组线性相关的等价定义，所以向量组b₁，b₂，b3，b4线性相关.

证法二由已知条件，有

因为系数矩阵，所以R（K）=3.

又由矩阵秩的性质，有R（b₁，b₂，b₃，b₄）≤R（K）=3<4（向量的个数），故向量组b₁，b₂，b₃，b₄线性相关.

7.设b₁=a₁，b₂=a₁+a₂，…，b_r=a₁+a₂+…+a_r，且向量组a₁，a₂，…，a_r线性无关，证明：向量组b₁，b₂，…，b_r也线性无关.

证法一利用向量组线性相关性的定义.

令

x₁b₁+x₂b₂+…+x_rb_r=0，

即

（x₁+x₂+…+x_r）a₁+（x₂+…+x_r）a₂+…+x_ra_r=0

由向量组a₁，a₂，…，a_r线性无关，有

可得x₁=x₂=…=x_r=0，所以向量组b₁，b₂，…，b_r也线性无关.

证法二利用矩阵（b₁，b₂，…，b_r）的秩判断.由b₁=a₁，b₂=a₁+a₂，…，b_r=a₁+a₂+…+a_r，有

因为，所以矩阵可逆，从而有

R（b₁，b₂，…，b_r）=R（a₁，a₂，…，a_r）.

又因为向量组a₁，a₂，…，a_r线性无关，所以R（a₁，a₂，…，a_r）=r，于是

R（b₁，b₂，…，b_r）=r，

故向量组b₁，b₂，…，b_r也线性无关.

8.求下列向量组的秩和一个最大无关组：

解（1）设A=（a₁，a₂，a₃，a₄），用矩阵的初等行变换，将A化成行阶梯形：

所以向量组的秩R（a₁，a₂，a₃，a₄）=3，且它的一个最大无关组为a₁，a₂，a₃或a₁，a₂，a₄；

所以向量组的秩R（a₁，a₂，a₃）=2，且它的一个最大无关组为a₁，a₂或a₁，a3.

9.（1）设向量组的秩为2，求a；

（2）设向量组的秩为2，求a，b.

解（1）令矩阵，已知R（A）=2，有A=0.又A=，所以a=5；

（2）令，则

由R（A）=2，有a-2=0，5-b=0，即a=2，b=5.

10.利用矩阵的初等行变换，求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示：

解（1）令，将A化成行最简形：

由A的行最简形，知a₁，a₂是A的列向量组的一个最大无关组，且有

b₃=2b₁-b₂，b₄=-b₁+2b2.

因为对矩阵A作初等行变换不改变A的列向量之间的线性关系，所以由上式，可得

a₃=2a₁-a₂，a₄=-a₁+2a₂；

（2）令，将A化成行最简形：

由A的行最简形，知a₁，a₂，a₃是A的列向量组的一个最大无关组，且有

b₄=b₁+3b₂-b₃，b₅=-b₂+b_3.

因为对矩阵A作初等行变换不改变A的列向量之间的线性关系，所以由上式，可得

a₄=a₁+3a₂-a₃，a₅=-a₂+a_3.

11.设n维向量a₁，a₂，…，a_n，若n维单位坐标向量e₁，e₂，…，e_n能由它们线性表示，证明：a₁，a₂，…，a_n线性无关.

证若e₁，e₂，…，e_n能由a₁，a₂，…，a_n线性表示，则有

n=R（e₁，e₂，…，e_n）≤R（a₁，a₂，…，a_n）.

又R（a₁，a₂，…，a_n）≤n（向量的个数），所以R（a₁，a₂，…，a_n）=n，故向量组a₁，a₂，…，a_n线性无关.

12.设n维向量a₁，a₂，…，a_n，证明：它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示.

证必要性.设向量b为任意n维向量.若a₁，a₂，…，a_n线性无关，又a₁，a₂，…，a_n，b线性相关（因为向量个数大于向量维数），则向量b一定可由向量组a₁，a₂，…，a_n线性表示.

充分性.若任一n维向量都可由a₁，a₂，…，a_n线性表示，则n维单位坐标向量e₁，e₂，…，e_n也可由它们线性表示，所以有

n=R（e₁，e₂，…，e_n）≤R（a₁，a₂，…，a_n）≤n（向量个数），即R（a₁，a₂，…，a_n）=n，所以向量组a₁，a₂，…，a_n线性无关.

13.设，，证明：向量组α₁，α₂，…，α_n与β₁，β₂，…，β_n等价.

证显然，向量组β₁，β₂，…，β_n可由向量组α₁，α₂，…，α_n线性表示.

又

设系数矩阵为K，因为，所以K可逆，从而

（α₁，α₂，…，α_n）=（β₁，β2，…，βn）K^-1，

即向量组α₁，α₂，…，α_n又可由向量组β₁，β₂，…，β_n线性表示，故向量组α₁，α₂，…，α_n与向量组β₁，β₂，…，β_n等价.

14.求下列齐次线性方程组的基础解系与通解：

·解（1）系数矩阵，将A化成行最简形：

由A的行最简形，得方程组（1）的同解方程组

分别取和，得，从而方程组（1）的基础解系为，通解为x=c₁1+c₂2，即

（2）解法一系数矩阵，将A化成行最简形：

由A的行最简形，得方程组（2）的同解方程组：

分别取和，得，从而方程组（2）的基础解系为，通解为：x=c₁1+c₂2，即

解法二为了避免分数运算，可将系数矩阵化简为：

上面最后一个矩阵虽然不是A的行最简形，但与行最简形等效，这时取x₁，x₄为非自由的

未知数，x₂，x₃为自由的未知数，得方程组（2）的同解方程组

分别取和，得，从而方程组（2）的基础解系为，通解为x=c₁1+c₂2，即

注方程组的基础解系往往不唯一，所以由它表示的通解形式也不唯一.

15.设矩阵，求一个4×2矩阵B，使AB=O，且R（B）=2.

解因为B是4×2矩阵，且满足AB=O，令B=（b₁，b₂），则Ab_i=0（i=1，2），即B的列向量b₁，b₂是齐次线性方程组Ax=0的解向量.又R（B）=2，则B的列向量b₁，b₂线性无关，从而b₁，b₂是方程组Ax=0线性无关的解向量.

又A是2×4矩阵，且A的两个行向量对应分量不成比例，所以R（A）=2，所以b₁，b₂就是四元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系.

为了避免分数运算，可以按下面的方法化简系数矩阵：

最后一个矩阵虽然不是A的行最简形，但效果等同.由此，得同解方程组

分别取和，得，从而方程组Ax=0的基础解系为，故矩阵

注因为方程组Ax=0的基础解系不唯一，所以所求的矩阵B也不唯一.

16.设A为n阶矩阵（n≥2），A*为A的伴随阵，证明：

证当R（A）=n时，有A≠0.又A*=A^n-1≠0，所以R（A*）=n.

当R（A）=n-1时，有A=0.又AA*=AE=O，由矩阵秩的性质，有R（A）+R（A*）≤n，从而R（A*）≤n-R（A）=n-（n-1）=1.

又由矩阵秩的定义，当R（A）=n-1时，矩阵A中必有一个n-1阶子式不为零，而由伴随阵A*的构成，知A*中必有一个元素不为零，从而R（A*）≥1.所以，当R（A）=n-1时，有R（A*）=1.

当R（A）≤n-2时，由矩阵秩的定义，矩阵A中所有n-1阶子式都为零，又由伴随阵A*的构成，知A*=O，所以R（A*）=0.(www.xing528.com)

17.求解下列非齐次线性方程组：

解（1）先将方程组的增广矩阵化成行阶梯形：

可得R（A）=R（B）=3<4，方程组（1）有无穷多解.

将B的行阶梯形矩阵进一步化成行最简形：

由B的行最简形，得同解方程组：

令x₃=0，得方程组（1）的一个特解

方程组（1）对应的齐次线性方程组的同解方程组为

令x₃=1，得齐次线性方程组的基础解系：，所以方程组（1）的通解为x=c+η*，即

（2）先将方程组的增广矩阵化成行阶梯形：

可得R（A）=R（B）=2<4，方程组（2）有无穷多解.

将B的行阶梯形矩阵进一步化成行最简形

由B的行最简形，得同解方程组

令x₃=x₄=0，得方程组（2）的一个特解η

方程组（2）对应的齐次线性方程组的同解方程组

分别取和，得，得齐次线性方程组的基础解系，所以方程组（2）的通解为x=c₁1+c₂2+η*，即

注本题是按非齐次线性方程组通解的结构求解的，但也可以按第3章介绍过的方法求解.

18.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知η₁，η₂，η₃是它的3个解向量，且

求该方程组的通解.

解设四元非齐次线性方程组为Ax=b，对应的齐次线性方程组为Ax=0.由R（A）=3，知方程组Ax=0的基础解系只含有一个解向量，且它的任一非零解向量都可以作为它的基础解系.

已知η₁，η₂，η₃是Ax=b的解向量，由方程组Ax=b与Ax=0解向量之间的关系，可得η₁-η₂，η₁-η₃是方程组Ax=0的解向量，从而（η₁-η₂）+（η₁-η₃）也是方程组Ax=0

的解向量，且，所以是方程组Ax=0的基础解系.

由非齐次线性方程组通解的结构，方程组Ax=b的通解为x=c+η₁，即

19.设矩阵A=（a₁，a₂，a₃，a₄），其中a₂，a₃，a₄线性无关，a₁=2a₂-a₃.向量b=a₁+a₂+a₃+a₄，求非齐次线性方程组Ax=b的通解.

解因为矩阵A含有4个列向量，所以Ax=b为四元线性方程组.又A的列向量a₂，a₃，a4线性无关，而a₁=2a₂-a₃，说明a₁，a₂，a₃，a₄线性相关，因而R（A）=3，所以方程组Ax=b对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系只含有一个解向量.又a₁=2a₂-a₃，得a₁-2a₂+a₃=0，即

所以就是齐次线性方程组Ax=0的基础解系.又向量b=a₁+a₂+a₃+a₄，即（a₁，a₂，a₃，a₄），所以是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解.

因此，方程组Ax=b的通解为x=c+η*，即

20.设向量组A：，，向量，问α，β为何值时，（1）向量b不能由向量组A线性表示；（2）向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一；（3）向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一，并求一般表示式.

解设矩阵A=（a₁，a₂，a₃）.向量b能否由向量组A线性表示等价于方程组Ax=b是否有解，本题属于含参数α，β的非齐次线性方程组Ax=b的求解问题.

本题从第（2）问入手，由于方程组的系数行列式

所以当A≠0，即α≠-4时，方程组Ax=b有唯一解，即向量b能由向量组A线性表示，且表示式唯一；

（1）当α=-4时，方程组的增广矩阵

当β≠0时，由于R（A）=2<R（B）=3，则方程组Ax=b无解，即向量b不能由向量组A线性表示；

（2）当α=-4，β=0时，方程组的增广矩阵

可见，R（A）=R（B）=2<3，方程组Ax=b有无穷多解，即向量b能由向量组A线性表示，且表示式不唯一.这时，方程组Ax=b的同解方程组为

令x₁=c，得方程组Ax=b的通解

所以，向量b能由向量组A线性表示的一般式为

21.设η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，₁，₂，…，_n-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明：

（1）η*，1，2，…，_n-r线性无关；

（2）η*，η*+₁，η*+₂，…，η*+n_-r线性无关.

（1）证法一用反证法.假设η*，₁，₂，…，_n-r线性相关.因为₁，₂，…，_n-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，所以₁，₂，…，n_-r线性无关.又由假设，可知η^*必可由|，|，…，|线性表示，从而η*是对应的齐次线性方程组Ax=0的解，这与已知η*是非齐次线性方程组Ax=b的解相矛盾，故η^*，₁，₂，…，_n-r线性无关；

证法二利用向量组线性相关性的定义.

令

x₀η*+x₁1+x₂₂+…+x_n-rn-r=0. （4-3）

用矩阵A左乘式（4-3）两边，得

x₀Aη*+x₁A1+x₂A₂+…+x_n-rA_n-r=0，由₁，₂，…，_n-r是方程组Ax=0的解，η^*是方程组Ax=b的解，有x₀b=0，又由b≠0，得x₀=0.于是式（4-3）变为

x₁₁+x₂₂+…+x_n-r_n-r=0.

因为₁，₂，…，n-r是方程组Ax=0的基础解系，所以1，2，…，n-r线性无关，由上式，得x₁=x₂=…=x_n-r=0，故η^*，₁，₂，…，_n-r线性无关；

（2）令

x₀η*+x₁（η*+1）+x₂（η^*+₂）+…+x_n-r（η^*+_n-r）=0，即

（x₀+x₁+x₂+…+x_n-r）η^*+x₁1+x₂2+…+x_n-rn-r=0，由（1）问的结论η*，1，2，…，n-r线性无关，得x₀=x₁=…=x_n-r=0，所以η*，η*+₁，η^*+₂，…，η*+_n-r线性无关.

22.设η₁，η2，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k₁，k₂，…，k_s为实数，且满足k₁+k₂+…+k_s=1，证明：

k_1η1+k₂η₂+…+k_sη_s也是它的解.

证将k_1η1+k₂η₂+…+k_sη_s代入方程组Ax=b的左端，得

A（k_1η1+k₂η₂+…+k_sη_s）=k₁Aη₁+k₂Aη₂+…+k_sAη_s，由已知_η1，η₂，…，ηs是方程组Ax=b的解，所以Aη₁=Aη₂=…=Aη_s=b，于是

A（k_1η1+k₂η₂+…+k_sη_s）=k₁b+k₂b+…+k_sb=（k₁+k₂+…+k_s）b，又k₁+k₂+…+k_s=1，得A（k₁η₁+k₂η₂+…+k_sη_s）=b，所以k₁η₁+k₂η₂+…+k_sη_s也是方程组Ax=b的解.

23.判断下列集合是否为向量空间，并说明理由：

（1）V={x=（x₁，x₂，…，x_n）Tx₁，x₂，…，x_n∈R满足x₁+x₂+…+x_n=0}；

（2）V={x=（x₁，x₂，…，x_n）Tx₁，x₂，…，x_n∈R满足x₁+x₂+…+x_n=1}.

解（1）因为0=（0，0，…，0）T满足x₁+x₂+…+x_n=0，所以0∈V，即集合V非空.任取向量a=（a₁，a₂，…，a_n）T，b=（b₁，b₂，…，b_n）T∈V，任取实数λ∈R，有

a+b=（a₁+b₁，a₂+b₂，…，a_n+b_n）T，λa=（λa₁，λa₂，…，λa_n）T.

因为（a₁+b₁）+…+（a_n+b_n）=（a₁+…+a_n）+（b₁+…+b_n）=0+0=0，

λa₁+λa₂+…+λa_n=λ（a₁+a₂+…+a_n）=0，所以a+b∈V，λa∈V，即集合V对向量加法、数乘封闭，故集合V是向量空间；

（2）任取向量a=（a₁，a₂，…，a_n）T∈V，有2a=（2a₁，2a₂，…，2a_n）T.

因为2a₁+2a₂+…+2a_n=2（a₁+a₂+…+a_n）=2≠1，所以2a∉V，即集合V对向量数乘运算不封闭，故集合V不是向量空间.

24.验证：a₁=（1，-1，0）T，a₂=（2，1，3）T，a₃=（3，1，2）T为R³的一个基，并把向量b₁=（5，0，7）T，b₂=（-9，-8，-13）T用这个基线性表示.

证设A=（a₁，a₂，a₃），B=（b₁，b₂）.要证a₁，a₂，a₃是R³的一个基，只需证a₁，a₂，

r a₃线性无关，即证矩阵A可逆，利用A可逆⇔A^-1A=E⇔A～E.

若求向量b₁，b₂用基a₁，a₂，a₃线性表示式，就是求系数矩阵，使得

即 AX=B⇔X=A^-1B⇔B～X

把以上两个问题合在一起，只需对矩阵(A，B)进行初等行变换，若子块A变成单位

阵E，则，即a₁，a₂，a₃，是R3的一个基．这时，子块曰就变成系数矩阵X=A^-1B.

可见，，所以a₁，a₂，a3是R³的一个基，且

即

b₁=2a₁+3a₂-a₃，b₂=3a₁-3a₂-2a_3.

25.设向量空间R³的两个基：a₁=（1，1，0）T，a₂=（0，1，1）T，a₃=（1，0，1）T和b₁=（1，0，0）T，b₂=（1，1，0）T，b₃=（1，1，1）T.（1）求从基a₁，a₂，a₃到基b₁，b₂，b₃的过渡矩阵；（2）若向量x在基a₁，a₂，a₃下的坐标为3，1，2，求向量x在基b₁，b₂，b₃下的坐标.