线性代数学习辅导-单元测试题解析

1.填空题

（1）设向量组A：，当k满足（ ）时，向量组A线性相关；当k满足（ ）时，向量组A线性无关.

（2）已知向量组α₁=（1，2，-1，1），α₂=（2，0，t，0），α₃=（0，-4，5，-2）的秩为2，则t=（ ）.（1997年，考研，数学二）

（3）设四元齐次线性方程组，则该方程组的基础解系为（ ）.，

（4）设四阶方阵A的各行元素之和均为零，且R（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的通解为（ ）.

（5）设四元非齐次线性方程组Ax=b，R（A）=3，η₁，η₂，η₃是它的3个解向量，且，则该方程组的通解为（ ）.

2.单项选择题

（1）设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由向量组A：α₁，α₂，…，α_m-1线性表示，令向量组B：α₁，α₂，…，α_m-1，β，则（ ）.

（A）α_m不能由向量组A线性表示，也不能由向量组B线性表示；

（B）α_m不能由向量组A线性表示，但可由向量组B线性表示；

（C）α_m可由向量组A线性表示，也可由向量组B线性表示；

（D）α_m可由向量组A线性表示，但不能由向量组B线性表示.

（2）设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有（ ）.（2004年，考研，数学一）

（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关；

（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关；

（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关；

（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

（3）若向量组α₁，α₂，α₃线性无关，向量组α₁，α₂，β线性相关，则（ ）.

（A）α₁必可由α₂，α₃，β线性表示； （B）α₂必不可由α₁，α₃，β线性表示；

（C）β必可由α₁，α₂，α₃线性表示；（D）β必不可由α₁，α₂，α₃线性表示.

（4）设向量组α₁，α₂，…，α_s的秩为r，则（ ）.

（A）r<s；

（B）向量组中任意所含向量个数小于r的部分组线性无关；

（C）向量组中任意r个向量线性无关；

（D）向量组中任意r+1个向量必线性相关.

（5）设α₁，α₂，α₃是3维向量空间R³的一组基，则由基α₁，，到基α₁+α₂，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵为（ ）.（2009年，考研，数学一）

3.讨论向量β是否可由向量组A线性表示？若能，求出表示式.

（1）设向量组A：，向量；

（2）设向量组A：，向量；

（3）设向量组A：，向量

4.设向量组A：和向量，问a，b取何值时，（1）向量β不能由向量组A线性表示；（2）向量β能由向量组A线性表示.

5.设向量组A：，，，向量组B：，，，证明：向量组B可由向量组A线性表示，但向量组A不能由向量组B线性表示.

6.设向量组α₁，α₂，…，α_s（s>2）线性无关，β₁=α₂+α₃+…+α_s，β₂=α₁+α₃+…+α_s，…，βs=α₁+α₂+…+α_s-1，证明：向量组β₁，β₂，…，β_s线性无关.

7.设向量组α₁，α₂，…，α_r线性无关，又

证明：向量组β₁，β₂，…，β_s线性无关的充要条件是矩阵A=（a_ij）r×s的秩为s.

8.设向量组，（1）当p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量用α₁，α₂，α3，α4线性表示；（2）当p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求它的秩和一个最大无关组.（1999年，考研，数学二）

9.设向量组A：，（1）求向量组A的秩；（2）求向量组A的一个最大无关组，并把其余向量用这个最大无关组线性表示.

10.设η₀，η₁，…，η_n-r是n元非齐次线性方程组Ax=b的n-r+1个线性无关的解向量，且R（A）=r，证明：向量组η₁-η₀，η₂-η₀，…，η_n-r-η₀是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系.

11.求齐次线性方程组(www.xing528.com)

的一个基础解系，并用这个基础解系表示该方程组的通解.

12.设非齐次线性方程组

当λ取何值时，该方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？在方程组有无穷多解时，用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解.

13.判断集合

V={x=（x₁，x₂，x₃，x₄）Tx₁，x₂，x₃，x₄∈R，满足x₁+x₂+x₃+x₄=0}是否为向量空间？若是，求其一个基和维数.

14.设向量空间R³的两个基分别为，，和，，，（1）求由基α₁，α₂，α₃到基β₁，β₂，β3的过渡矩阵；（2）若向量在基α₁，α₂，α3下的坐标为-1，2，1，求向量在基β₁，β₂，β₃下的坐标.

参考答案

1.（1）k=-1或k=6；k≠-1且k≠6.（2）3.（3），.

（4）.提示：设A=（a₁，a₂，a₃，a₄），由已知，得a₁+a₂+a₃+a₄=0，

即，由此可确定方程组Ax=0的基础解系，再表示其通解即可.

（5）（k∈R）或（k∈R）.提示：利用齐次和非齐次线性方程组的解向量的性质.

2.（1）B；提示：用反证法.

（2）A；提示：设A，B分别是m×n和n×l矩阵，利用矩阵秩R（A）+R（B）≤n，R（A）≥1，R（B）≥1，得R（A）<n，R（B）<n.

（3）C； （4）D； （5）A.

3.（1）向量β不能由向量组A线性表示；

（2）向量β可由向量组A线性表示，且表示式唯一，即β=α₁+α₂-α₃；

（3）向量β可由向量组A线性表示，但表示式不唯一，即

β=（-2c+1）α₁+（-9c+3）α₂+cα₃（c∈R）.

4.（1）当a=-1，b≠0时，向量β不能由向量组A线性表示；

（2）当a≠-1，b为任意常数时，向量β能由向量组A线性表示.

5.提示：利用向量组可由另一个向量组线性表示的充要条件证明.

6.提示：利用向量组线性相关性的定义证明或利用向量组所构成的矩阵的秩证明.

7.由已知条件，有（β₁，β₂，…，β_s）=（α₁，α₂，…，α_r）A.

必要性：若β₁，β₂，…，β_s线性无关，则R（β₁，β₂，…，β_s）=s.又由上式，有

R（A）≥R（β₁，β₂，…，β_s）=s.

因为A是r×s矩阵，可得R（A）≤s，所以R（A）=s.

充分性：若R（A）=s.由α₁，α₂，…，α_r线性无关，有R（α₁，α₂，…，α_r）=r，所以（α₁，α₂，…，αr）是列满秩矩阵.由教材中的例3.7，知R（β₁，β₂，…，β_s）=R（A）=s，故β₁，β₂，…，βs线性无关.

8.（1）当p≠2时，向量组A线性无关，此时；

（2）当p=2时，向量组A线性相关，此时向量组的秩R_A=3，且α₁，α₂，α₃是向量组A的一个最大无关组.

9.（1）向量组A的秩R_A=3；（2）向量组A的一个最大无关组为α₁，α₂，α₃，且

α₄=5α₁+2α₂-2α₃，α₅=-α₁+α₂+α3.

10.利用齐次线性方程组的基础解系的定义，只需证明η₁-η₀，η₂-η₀，…，η_n-r-η₀是齐次线性方程组的解，且线性无关即可.

11.当a≠4时，基础解系为，通解为.

当a=4时，基础解系为，通解为（k₁，k₂∈R）.

12.（1）当λ≠-2且λ≠1时，方程组有唯一解；（2）当λ=-2时，方程组无解；（3）

当λ=1时，方程组有无穷多解，其通解为（k₁，k₂∈R）.

13.集合V是向量空间.V的一个基为1=（-1，1，0，0）T，2=（-1，0，1，0）T，3=（-1，0，0，1）T，V的维数是3，即V是3维向量空间.提示：V的一个基就是齐次线性方程组x₁+x₂+x₃+x₄=0的基础解系.

14.（1）过渡矩阵为；（2）向量在基β₁，β₂，β₃下的坐标为-5，-7，4.