线性代数：齐次线性方程组的基础解系与通解结构

（1）齐次线性方程组的解向量的性质

1）若x=1，x=2是齐次线性方程组Ax=0的解向量，则x=1+2也是它的解向量.

2）若x=是齐次线性方程组Ax=0的解向量，k为实数，则x=k也是它的解向量.

（2）设n元齐次线性方程组Ax=0的解集为S，则S的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系.

若系数矩阵的秩R（A）=r，则解集S的秩R_S=n-r.

当r=n时，解集S只含零向量，即方程组Ax=0只有零解，没有基础解系；当r<n时，解集S含有无穷多个解向量，其中最大无关组，即方程组Ax=0的基础解系含有n-r个解向量.

若1，2，…，n-r是方程组Ax=0的基础解系，则方程组Ax=0的通解为

x=c₁1+c₂2+…+c_n-rn_-r （c₁，c₂，…，c_n-r∈R）.

注 齐次线性方程组的基础解系往往不唯一，因此由它表示方程组的通解的形式也不唯一.

（3）由齐次线性方程组解的存在性及解向量的性质，可知n元齐次线性方程组Ax=0的解集S作为解向量的集合是一个向量空间，称为解空间.它的最大无关组，也就是方程组Ax=0的基础解系又称为解空间S的基，S的秩R_S=n-R（A）又称为解空间S的维数，即解集S是n-R（A）维解空间.

（4）非齐次线性方程组的解向量的性质

1）若x=η₁，x=η₂是非齐次线性方程组Ax=b的解向量，则x=η₁-η₂是对应的齐次线性方程组Ax=0的解向量.

2）若x=η是非齐次线性方程组Ax=b的解向量，x=是对应的齐次线性方程组Ax=0的解向量，则x=+η仍是非齐次线性方程组Ax=b的解向量.

（5）设n元非齐次线性方程组Ax=b，其系数矩阵的秩R（A）=r.若η*是方程组Ax=b的一个特解，1，2，…，n-r是对应的方程组Ax=0的基础解系，则非齐次线性方程组Ax=b的通解为

x=c₁1+c₂2+…+c_n-rn-r+η* （c₁，c₂，…，c_n-r∈R）.

6.向量空间(www.xing528.com)

（1）设V是n维向量的集合，若集合V非空，且V对于向量的加法及数乘两种运算封闭，则称集合V是向量空间.

若集合V只含零向量，则V也是向量空间，称为零空间.除零空间外，任何向量空间都含有无限多个向量.

（2）设a₁，a₂，…，a_m为已知的n维向量，集合

L={x=λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ma_mλ₁，λ₂，…，λ_m∈R}，则L是向量空间，称它是由向量组a₁，a₂，…，a_m所生成的向量空间.

（3）设V是向量空间，若有r个向量a₁，a₂，…，a_r∈V，满足

1）向量组a₁，a₂，…，a_r线性无关；

2）V中的任一向量都可由向量组a₁，a₂，…，a_r线性表示，则称向量组a₁，a₂，…，a_r是向量空间V的一个基，r为向量空间V的维数，并称V是r维向量空间.

特别地，对于零空间V，由于它没有基，规定零空间V的维数为0.

注 若把向量空间V（零空间除外）看做无限的向量组，则向量空间V的基就是向量组V的最大无关组，向量空间V的维数就是向量组V的秩.

（4）若a₁，a₂，…，a_r是向量空间V的一个基，则V中任一向量x可唯一表示为

x=λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_ra_r，其中，系数λ₁，λ₂，…，λ_r称为向量x在基a₁，a₂，…，a_r下的坐标.

（5）设a₁，a₂，a₃是向量空间R³的一个给定基，b₁，b₂，b₃是R³的一个新基，记A=（a₁，a₂，a₃），B=（b₁，b₂，b₃），则从旧基到新基的基变换公式为

（b₁，b₂，b3）=（a₁，a₂，a3）P，其中，系数矩阵P=A^-1B称为从旧基到新基的过渡矩阵.

设向量x在旧基a₁，a₂，a₃和新基b₁，b₂，b₃的坐标分别为y₁，y₂，y₃和z₁，z₂，z₃，则从旧坐标到新坐标的坐标变换公式为

其中，系数矩阵P^-1是过渡矩阵P的逆阵.