线性代数辅导:向量组线性组合与表示

（1）设向量组A：a₁，a₂，…，a_n，对于任意一组实数k₁，k₂，…，k_n，称表达式

k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n为向量组A的一个线性组合，k₁，k₂，…，k_n称为这个线性组合的系数.

（2）对于向量b，如果存在一组实数λ₁，λ₂，…，λ_n，使

b=λ₁a₁+λ₂a₂+…+λ_na_n，则称向量b可由向量组A线性表示.

（3）设向量组A：a₁，a₂，…，a_n和向量组B：b₁，b₂，…，b_l，如果向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示.

如果向量组A与向量组B能相互线性表示，则称向量组A与向量组B等价.

（4）关于向量组线性表示的几个重要结论

1）向量b能由向量组A：a₁，a₂，…，a_n线性表示⇔R（a₁，a₂，…，a_n）=R（a₁，a₂，…，a_n，b）.(www.xing528.com)

注R（a₁，a₂，…，a_n）与R（a₁，a₂，…，a_n，b）都表示矩阵的秩.学完向量组的秩之后，它们也可以理解为向量组的秩，以下也类似.

2）向量组B：b₁，b₂，…，b_l能由向量组A：a₁，a₂，…，a_n线性表示⇔

R（a₁，a₂，…，a_n）=R（a₁，a₂，…，a_n，b₁，b2，…，bl）.

3）向量组A：a₁，a₂，…，a_n与向量组B：b₁，b₂，…，b_l等价⇔

R（a₁，a₂，…，a_n）=R（a₁，a₂，…，a_n，b₁，b2，…，bl）=R（b₁，b₂，…，b_l）.

4）若向量组B：b₁，b₂，…，b_l能由向量组A：a₁，a₂，…，a_n线性表示，则

R（b₁，b₂，…，b_l）≤R（a₁，a₂，…，a_n）.