初等变换-线性代数学习辅导

（1）矩阵的初等变换.

定义：矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换.

1）互换两行（r_i↔r_j）；

2）用数k≠0乘某一行的所有元素（r_i×k）；

3）把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（r_i+kr_j）.类似可定义矩阵的初等列变换（相应记号中把r换成c）.

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.

（2）矩阵的等价.

定义：若矩阵A经过有限次初等行变换变成B，则称矩阵A与B行等价，记作；类似可定义列等价，记作；

若矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称矩阵A与B等价，记作A～B.等价关系具有反身性、对称性和传递性.

（3）矩阵的行阶梯形、行最简形及标准形.

行阶梯形矩阵特点：在矩阵中可画出一条阶梯线，每个台阶只含有一个非零行，阶梯线竖线后面的第一个元素不为零，阶梯线下方的元素都为零.

若行阶梯形矩阵具备以下特点：每个非零行的第一个非零元素都是1，且这些1所在的列的其他元素都是0，则称之为行最简形矩阵.

行最简形矩阵是一个行阶梯形矩阵，而行阶梯形矩阵不一定是行最简形矩阵；矩阵A的行最简形是唯一的，而A的行阶梯形不是唯一的.

对于任意m×n非零矩阵A，总可经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形和行最简形矩阵，再施以有限次初等列变换把它化简为标准形

（4）初等矩阵.

定义：对单位阵E实施一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵.

1）对E施以第一种初等变换（r_i↔r_j或c_i↔c_j），得到初等矩阵E（i，j）；(www.xing528.com)

2）对E施以第二种初等变换（r_i×k或c_i×k），得到初等矩阵E（i（k））；

3）对E施以第三种初等变换（r_i+kr_j或c_i+kc_j），得到初等矩阵E（ij（k））.

初等矩阵都是可逆的，且

（5）关于初等变换的几个重要定理.

性质1 设A是一个m×n矩阵，对A进行一次初等行（列）变换，相当于在A的左（右）边乘以相应的m（n）阶初等矩阵.

性质2 方阵A可逆的充分必要条件是它可以表示为若干初等矩阵的乘积.

定理：设A，B是m×n矩阵，则

1）A～^rB⇔存在可逆阵P，使PA=B；

2）A～^cB⇔存在可逆阵Q，使AQ=B.

3）A～B⇔存在可逆阵P和Q，使PAQ=B.

推论 方阵A可逆的充分必要条件是A～^rE.

（6）用初等变换求矩阵的逆和解矩阵方程.

1）求方阵A的逆：

2）解矩阵方程AX=B（A可逆）：

3）解矩阵方程XA=B（A可逆）：