线代教材习题解析-A与A-E可逆及求逆

1.求下列矩阵的乘积：

解；

2.设，，求：（1）2AB-A；（2）A^TB.

解 （1）；

（2）.

3.设甲、乙、丙、丁四人的数学、语文、外语的期中、期末考试成绩如表2-9、表2-10所示：

（1）分别写出表示甲、乙、丙、丁四人的期中、期末考试成绩的矩阵A，B；

（2）学生的学期成绩的计算方法是期中考试成绩占20%，期末考试成绩占80%，若表示甲、乙、丙、丁四人的学期成绩的矩阵为C，写出C与A，B的关系，并求出C（最后成绩中的小数四舍五入）.

表2-9 期中考试成绩

表2-10 期末考试成绩

解 （1）；

（2）

4.设一次聚会需要准备的餐饮为10个大型三明治（巨无霸）、6夸脱（每夸脱约1.14升）果汁饮料、3夸脱土豆沙拉及2盘开胃菜.统计表2-11是3家不同供货商提供这些商品的单价：

求每个供货商的备餐价格.

表 2-11

解 依照题意分别设矩阵，每个供货商的备餐价格对应矩阵C，则

其中，c_1j表示第j个供货商的备餐价格（j=1，2，3）.

5.设线性变换

求从变量x₁，x₂，x₃到z₁，z₂，z₃的线性变换.

解 依次将两个线性变换写成矩阵形式：

Z=AY，Y=BX，

其中，.则从变量x₁，

x₂，x3到z₁，z2，z3的线性变换的矩阵形式为

Z=AY=A（BX）=（AB）X，

这里矩阵

即有

6.设，验证AB≠BA，并说明下列公式：

（1）（A+B）2=A²+2AB+B²；

（2）（A+B）（A-B）=A²-B²是否成立.

解 因为

显然，

AB≠BA.

（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A²+AB+BA+B²，由于AB≠BA，故

AB+BA≠2AB，

从而

（A+B）2≠A²+2AB+B²；

（2）（A+B）（A-B）=A²+BA-AB-B²，由于AB≠BA，故BA-AB≠O，从而

（A+B）（A-B）≠A²_-B2.

7.举例说明：若A²=A，则A=O或A=E这一结论不一定成立.

解 取，有A²=A，但A≠O且A≠E.

8.求下列方阵的n次幂Aⁿ：

（1）； （2）

解 （1）由

可推得

下面用数学归纳法证之.

当n=1时，式（2-1）显然成立.

假设当n=k时，式（2-1）成立.那么，当n=k+1时，

成立.故

（2）由

可推得

当n=1时，式（2-2）显然成立.

假设当n=k时，式（2-2）成立.那么，当n=k+1时，

由数学归纳法知式（2-2）成立.

9.设

α^T=（1，2，3），，A=αβ^T，求Aⁿ（n>1）.

解 由方阵幂的定义有

利用矩阵乘法的结合律，得

注意到β^Tα是一个1×1矩阵，即β^Tα=3，根据矩阵数乘的运算规则，有

10.设，求A²，A³，…，An.

解 由

得，当n=2m时，

当n=2m+1时，

A^2m+1=A2mA=2^2mE·A=2^2mA，

故

11.设A，B为n阶方阵，且A为对称阵，证明B^TAB也是对称阵.

证 因为A为对称阵，由对称阵的定义得A^T=A，所以

（B^TAB）T=B^TA^T（B^T）T=B^TAB，

即B^TAB也是对称阵.

12.设A，B是n阶对称阵，证明AB是对称阵的充分必要条件是AB=BA.

证 由A，B是对称阵，得A^T=A，B^T=B.

充分性.由于AB=BA，故有（AB）T=B^TA^T=BA=AB，因此AB是对称阵.

必要性.因为AB是对称阵，有AB=（AB）T=B^TA^T=BA，即得AB=BA.

13.求下列方阵的逆阵：

解 （1）由于，所以方阵A可逆.又A的伴随阵，所以有；

（2）由于，方阵A可逆.

又行列式A的元素的余子式为：

M₁₁=2，M₂₁=1，M₃₁=-1，

M₁₂=6，M₂₂=0，M32=-2，

M₁₃=2，M₂₃=-1，M₃₃=-1，

从而，A的伴随阵，于是

（3）因a₁a₂…a_n≠0，故a_i≠0（i=1，2，…，n）.于是矩阵是有意义的，并且因

由教材中的定理2.1的推论可知A可逆，且

14.求解下列矩阵方程：

解 （1）记，则原矩阵方程记为

由于

AX=B.，所以方阵A可逆.用A^-1左乘等式AX=B的两边，有

A^-1AX=A^-1B，

即

X=A^-1B.

又A的伴随阵，所以有

于是

（2）记，则原矩阵方程记为XA=B.

由于，方阵A可逆.用A-1右乘等式XA=B的两边，有

XAA^-1=BA^-1，

即

X=BA^-1.

又

于是

15.设，且AB+E=A²+B，求B.

解 由方程AB+E=A²+B，合并含有未知矩阵B的项，得

AB-B=A²-E=（A-E）（A+E），

即

（A-E）B=（A-E）（A+E），（2-3）

又

故A-E可逆，用（A-E）-1左乘式（2-3）的两边，得

（A-E）-1（A-E）B=（A-E）-1（A-E）（A+E），

即

16.设方阵A的伴随阵A*=diag（1，1，1，8），且ABA^-1=BA^-1+3E，求B.

解 化简所给矩阵方程

ABA^-1=BA^-1+3E

⇒（A-E）BA^-1=3E

⇒（A-E）BA^-1A=3A

⇒（A-E）B=3A，

再用A^-1左乘上式两边，得

A^-1（A_-E）B=3A^-1A

⇒（E-A^-1）B=3E.

由A*=AA^-1，得

A*=A⁴A^-1=A³，

而A*=8，故A=2.因此

则(https://www.xing528.com)

于是

B=3（E-A^-1）-1=diag（6，6，6，-1）.

17.利用逆阵解线性方程组，，.

解 记方程组的系数矩阵A，未知数向量，常数项向量，

由矩阵的乘法，该线性方程组可表示成向量方程Ax=b.

因为A=15≠0，所以方阵A可逆，从而x=A^-1b.

又

故

18.求线性变换

，

，的逆变换.

解 记x=（x₁，x₂，x₃）T，y=（y₁，y₂，y₃）T，则上述线性变换的矩阵形式为x=Ay，

其中它的系数矩阵.因A=1≠0，故A是可逆阵，于是从变量x₁，x₂，x3

到变量y₁，y₂，y₃的线性变换的矩阵形式为

y=A^-1x.

又

于是

即

19.设A为三阶方阵，且，求（2A）-1-5A*.

解 因，故A可逆.于是由

及，

得

20.设，且AP=PΛ，求A11.

解 因为，所以方阵P可逆.于是，

A=PΛP^-1，A²=PΛ（P^-1P）ΛP^-1=PΛ²P^-1，…，A¹¹=PΛ¹¹P^-1，

由

得

21.设方阵A满足A²+A-4E=O，证明A与A-E都可逆，并求A^-1与（A-E）-1.

解 由等式A²+A-4E=O，得（A+E）A=4E，从而

由教材中的定理2.1的推论可知方阵A可逆，且

又由等式A²+A-4E=O，得（A²-A）+（2A-2E）-2E=O，从而有

A（A-E）+2（A-E）=2E，

即

由教材中的定理2.1的推论可知方阵A-E也可逆，且

22.设方阵A可逆，证明A的伴随阵A*也可逆，且（A*）-1=（A^-1）*.

证法一 因AA*=AE及A≠0，由教材中的定理2.1的推论知A*可逆，且

另一方面，因A^-1（A^-1）*=|A^-1|E，用A左乘此式两边得

比较两个式子，即知结论成立.

证法二 由AA*=AE及A可逆，可得

A*=AA^-1，

所以

于是

由教材中的定理2.1的推论知，A*可逆，且（A*）-1=（A^-1）*.

23.设A*是n阶方阵A的伴随阵，证明：

（1）若|A|=0，则|A*|=0； （2）|A*|=|A|^n-1.

证 （1）因AA*=|A|E，当A=0时，上式成为AA*=O.

欲证|A*|=0，可用反证法：假设|A*|≠0，由矩阵可逆的充要条件知，A*是可逆矩阵，用（A*）-1右乘上式等号两边，得A=O.从而得A的伴随矩阵|A*|=O，于是|A*|=0，这与假设矛盾，所以假设不成立，而原结论即|A*|=0成立.

（2）当|A|=0时.由（1）问可知，|A*|=0=A^n-1，结论成立；

当|A|≠0时.在等式A|A*|=|A|E的两边取行列式，得

A|A*|=A|A*|=||A|E_n=|Aⁿ|，

于是

|A*|=|A^n-1|.

24.在用可逆阵进行保密编译码中（教材中的例2.19），取可逆阵为

若发出信息school，问收到的信息是什么？若收到信息为43，64，41，42，59，22，恢复原来的信息是什么？

解 使用代码：将26个英文字母a，b，…，y，z依次对应数字1，2，…，25，26.若发送信息是school，此信息的编码是19，3，8，15，15，12.将编码19，3，8，15，15，12写成两个传出信息向量（19，3，8）T，（15，15，12）T.

因为

所以将传出信息向量经过乘A编成“密码”后发出，收到信息为38，49，19，54，81，39.

又因为

所以，将所收到的两个信息写成向量后，经过乘A^-1给予解码为2，1，20，20，12，5.

最后，利用使用的代码将编码恢复为明码，得到信息battle.

25.设，求AB.

解 记，其中.则

又

故

26.设，求：（1）A⁸；（2）A^-1；（3）A⁴.

解 记，其中，，则A成为一个分块对角矩阵.

（1）A⁸=A⁸=（A₁A₂）8=A₁⁸A₂⁸=10¹⁶；

（2）由于可逆，；也可逆，且A₂-1，所以A可逆，且

（3）计算可得

因

故

A⁴₁=5⁴E，

又因

故

代入即得

27.设方阵A，B都可逆，证明：

（1）分块阵可逆，且；

（2）分块阵

可逆，且

证 （1）由于A，B都可逆，故AA^-1=E，BB^-1=E，且有

由教材中的定理2.1的推论可知分块阵

可逆，且

（2）由于

由教材中的定理2.1推论可知分块阵

可逆，且

28.求下列方阵的逆阵：

解 （1）记，其中，，，由第27题结论（1）有

而

所以

（2）记，其中，由第27题

结论（2）有

而

所以

实验2

1.设，求A^T，A+B，AB，A²，A^-1B.

解 程序设计如下：

2.小李给小张发来一封密信，它是一个三阶方阵.他们商定：消息的每一个英文字母都用一个整数来表示：a—1，b—2，…，y—25，z—26，约定好的加密矩阵是，现在，你知道小李说的是什么吗？

解 程序设计如下：

>>A=[4 3 7；9 0 10；0 7 6]；B=[207 210 135；231 318 135；244 161 175]；

>>formatrat

>>inv（A）*B

ans=

9 12 15

22 5 25

15 21 *故小李说的是iloveyou.

注 输出格式为近似有理数（formatrat）输出时，如果数据接近0，如0.0000之类的数会显示为*，如果调整为其他显示格式，则显示为0.0000之类的结果.

>>A=[4 3 7；9 0 10；0 7 6]；B=[207 210 135；231 318 135；244 161 175]；

>>=inv（A）*B

ans=

9.0000 12.0000 15.0000

22.0000 5.0000 25.0000

15.0000 21.0000 -0.0000