解 (1)
1×(-4)×(-1)-0×1×3-(-1)×2×8=-24+8-4+16=-4;
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:
(1)621354; (2)987654321;
(3)13…(2n-1)24…(2n); (4)13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.
解 (1)t=2+1+1+2+1+0=7;
(2)t=8+7+6+5+4+3+2+1+0=36;
(3)
(4)t=(2n-2)+(2n-4)+…+4+2+0=n(n-1).
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.
解 由四阶行列式D=∑(-1)ta1p1a2p2…a4p4,其中p1=1,p2=3,所以p3,p4分别为2,4的排列,即为:-a11a23a32a44和a11a23a34a42.
4.计算下列各行列式:
(1)解法一 化行列式为上三角形行列式.
解法二 用行列式按行(列)展开法则来计算.
注 本题可利用行列式按行(列)展开法则,并结合行列式的性质来简化计算.
5.证明:
证
(2)左式按第一列拆开得
其中,
于是
=0(因有两列对应成比例);
(4)证法一
证法二 可将原行列式加上一行一列,变为范德蒙德行列式.
其中范德蒙德行列式第4行第5列元素的代数余子式
即原行列式等于范德蒙德行列式按第5列展开所得多项式中x3的系数的相反数.同时,它又等于式(1-3)右端展开式中x3的系数的相反数.即
(5)递推法.按第1列展开,以建立递推公式,
原式
即
Dn+1=xDn+a0.
又,归纳基础为:D1=an(注意不是x),于是
注 本题也可以将行列式按最后一行展开.
6.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):
(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;
(2)
(3)
提示:利用范德蒙德行列式的结果.
(4),其中未写出的元素都为0;
(5),其中a1a2…an≠0.
解 (1)解法一 把Dn按第一行展开,得
解法二 把Dn化为上三角形行列式.
(2)利用各列的元素之和相同,提取公因式.
(3)把所给行列式上下翻转,即为范德蒙德行列式,若再将它左右翻转,由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等,故行列式经上下翻转再左右翻转其值不变,于是按范德蒙德行列式的结果,可得
(4)把D2n中的第2n行依次与第2n-1行,…,第2行对调(作2n-2次相邻对换),再把第2n列依次与第2n-1列,…,第2列对调,得
由此得递推公式
D2n=(andn-bncn)D2(n-1),
另一方面,归纳基础为,利用这些结果,递推得
(5)解法一 将原行列式化为上三角形行列式.
解法二 拆分法.先对最后一列进行拆分,
其中,(www.xing528.com)
得递推公式
Dn=a1a2…an-1+anDn-1,
由递推公式,可得
Dn-1=a1a2…an-2+an-1Dn-2,
代入得
Dn=a1a2…an-1+a1a2…an-2an+an-1anDn-2,
Dn=a1a2…an-1+a1a2…an-2an+…+a2…an-2anD1,
又D1=1+a1,故
7.设,D的(i,j)元的代数余子式记作Aij,求A31+3A32-2A33+2A34.
解A31+3A32-2A33+2A34等于用1,3,-2,2替换D的第3行对应元素所得行列式,即
8.用克拉默法则解下列方程组:
解 (1)
由克拉默法则,得
由克拉默法则,得
9.问λ取何值时,齐次线性方程组
有非零解?
解
由D=0时对应的齐次线性方程组有非零解,得λ=2或λ=-7.
不难验证,当λ=2或λ=-7时,所给方程组有非零解.
10.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7),求△ABC的面积.
解
11.已知不在同一平面上的四点A(1,2,3)、B(3,6,5)、C(5,8,7)和D(4,6,2),求四面体ABCD的体积.
解 由立体几何知道,四面体的体积等于以向量AB、AC和AD为棱的平行六面体的体积的六分之一,因而四面体ABCD的体积
实验1
MATLAB是以矩阵为基本变量单元的.输入时,矩阵的元素用方括号括起来,行内元素用逗号分隔或空格分隔,各行之间用分号分隔或直接回车.语句的结尾可用回车符或逗号,此时会立即显示所得的结果,若不希望显示中间结果,则以分号结尾,此时运算仍然执行,只是不显示.
1.输入矩阵,并提取矩阵A的第3列和第2行元素.
解 在命令窗口中输入语句
>>A=[3-78152;058-103;5-76184];
>>A(:,3) %提取矩阵A的第3列的元素
运行结果为:
ans=
8
8
6
>>(2,:) %提取矩阵A的第2行的元素
运行结果为:
ans=
0 5 8 -10 3
注 %后面为注释语句,在程序中不运行.
2.计算
解 程序设计如下:
>>clear %该命令清除工作空间中变量与函数,以便保证程序顺利进行
>>symsxy%定义符号变量x,y
>>A=[1+x111;11+x11;111+y1;1111+y];
>>D=det(A)%求方阵A的行列式
运行结果为
D=
x^2*y^2+2*x^2*y+2*x*y^2
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