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线性代数学习辅导:阶行列式中含因子a11a23的项解析

时间:2023-10-18 理论教育 版权反馈
【摘要】:+4+2+0=n(n-1).3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解 由四阶行列式D=∑(-1)ta1p1a2p2…,第2列对调,得由此得递推公式D2n=D2(n-1),另一方面,归纳基础为,利用这些结果,递推得解法一 将原行列式化为上三角形行列式.解法二 拆分法.先对最后一列进行拆分,其中,得递推公式Dn=a1a2…

线性代数学习辅导:阶行列式中含因子a11a23的项解析

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)

1×(-4)×(-1)-0×1×3-(-1)×2×8=-24+8-4+16=-4;

2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:

(1)621354; (2)987654321;

(3)13…(2n-1)24…(2n); (4)13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2.

(1)t=2+1+1+2+1+0=7;

(2)t=8+7+6+5+4+3+2+1+0=36;

(3)978-7-111-45387-1-Chapter01-65.jpg

(4)t=(2n-2)+(2n-4)+…+4+2+0=nn-1).

3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.

由四阶行列式D=∑(-1)ta1p1a2p2a4p4,其中p1=1,p2=3,所以p3p4分别为2,4的排列,即为:-a11a23a32a44a11a23a34a42.

4.计算下列各行列式:

(1)解法一 化行列式为上三角形行列式.

解法二 用行列式按行(列)展开法则来计算.

本题可利用行列式按行(列)展开法则,并结合行列式的性质来简化计算.

5.证明:

978-7-111-45387-1-Chapter01-73.jpg

(2)左式按第一列拆开得

其中,978-7-111-45387-1-Chapter01-75.jpg

于是978-7-111-45387-1-Chapter01-76.jpg

=0(因有两列对应成比例);

(4)证法一978-7-111-45387-1-Chapter01-78.jpg

证法二 可将原行列式加上一行一列,变为范德蒙德行列式.

其中范德蒙德行列式第4行第5列元素的代数余子式

即原行列式等于范德蒙德行列式按第5列展开所得多项式中x3的系数的相反数.同时,它又等于式(1-3)右端展开式中x3的系数的相反数.

(5)递推法.按第1列展开,以建立递推公式,

原式978-7-111-45387-1-Chapter01-83.jpg

Dn+1=xDn+a0.

又,归纳基础为:D1=an(注意不是x),于是

本题也可以将行列式按最后一行展开.

6.计算下列各行列式(Dkk阶行列式):

(1)978-7-111-45387-1-Chapter01-85.jpg,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;

(2)978-7-111-45387-1-Chapter01-86.jpg

(3)978-7-111-45387-1-Chapter01-87.jpg

提示:利用范德蒙德行列式的结果.

(4)978-7-111-45387-1-Chapter01-88.jpg,其中未写出的元素都为0;

(5)978-7-111-45387-1-Chapter01-89.jpg,其中a1a2an≠0.

(1)解法一Dn按第一行展开,得

解法二Dn化为上三角形行列式.

(2)利用各列的元素之和相同,提取公因式.

(3)把所给行列式上下翻转,即为范德蒙德行列式,若再将它左右翻转,由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等,故行列式经上下翻转再左右翻转其值不变,于是按范德蒙德行列式的结果,可得

(4)把D2n中的第2n行依次与第2n-1行,…,第2行对调(作2n-2次相邻对换),再把第2n列依次与第2n-1列,…,第2列对调,得

由此得递推公式

D2n=(andn-bncnD2n-1),

另一方面,归纳基础为978-7-111-45387-1-Chapter01-96.jpg,利用这些结果,递推得

(5)解法一 将原行列式化为上三角形行列式.

解法二 拆分法.先对最后一列进行拆分,

其中,(www.xing528.com)

得递推公式

Dn=a1a2an-1+anDn-1

由递推公式,可得

Dn-1=a1a2…an-2+an-1Dn-2

代入得

Dn=a1a2an-1+a1a2an-2an+an-1anDn-2

Dn=a1a2an-1+a1a2an-2an+…+a2an-2anD1

D1=1+a1,故978-7-111-45387-1-Chapter01-101.jpg

7.设978-7-111-45387-1-Chapter01-102.jpgD的(ij)元的代数余子式记作Aij,求A31+3A32-2A33+2A34.

A31+3A32-2A33+2A34等于用1,3,-2,2替换D的第3行对应元素所得行列式,即

8.用克拉默法则解下列方程组:

(1)978-7-111-45387-1-Chapter01-105.jpg

由克拉默法则,得

由克拉默法则,得

9.问λ取何值时,齐次线性方程组

有非零解?

978-7-111-45387-1-Chapter01-109.jpg

D=0时对应的齐次线性方程组有非零解,得λ=2或λ=-7.

不难验证,当λ=2或λ=-7时,所给方程组有非零解.

10.已知△ABC的三个顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7),求△ABC的面积.

978-7-111-45387-1-Chapter01-110.jpg

11.已知不在同一平面上的四点A(1,2,3)、B(3,6,5)、C(5,8,7)和D(4,6,2),求四面体ABCD的体积.

立体几何知道,四面体的体积等于以向量A978-7-111-45387-1-Chapter01-111.jpgBA978-7-111-45387-1-Chapter01-112.jpgCA978-7-111-45387-1-Chapter01-113.jpgD为棱的平行六面体的体积的六分之一,因而四面体ABCD的体积

实验1

MATLAB是以矩阵为基本变量单元的.输入时,矩阵的元素用方括号括起来,行内元素用逗号分隔或空格分隔,各行之间用分号分隔或直接回车.语句的结尾可用回车符或逗号,此时会立即显示所得的结果,若不希望显示中间结果,则以分号结尾,此时运算仍然执行,只是不显示.

1.输入矩阵978-7-111-45387-1-Chapter01-115.jpg,并提取矩阵A的第3列和第2行元素.

在命令窗口中输入语句

>>A=[3-78152;058-103;5-76184];

>>A(:,3) %提取矩阵A的第3列的元素

运行结果为:

ans=

8

8

6

>>(2,:) %提取矩阵A的第2行的元素

运行结果为:

ans=

0 5 8 -10 3

%后面为注释语句,在程序中不运行.

2.计算978-7-111-45387-1-Chapter01-116.jpg

程序设计如下:

>>clear %该命令清除工作空间中变量与函数,以便保证程序顺利进行

>>symsxy%定义符号变量x,y

>>A=[1+x111;11+x11;111+y1;1111+y];

>>D=det(A)%求方阵A的行列式

运行结果为

D=

x^2*y^2+2*x^2*y+2*x*y^2

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