概率统计案例：高效存储策略

问题提出：在某商品的需求量（即销售量）为随机变量的情况下，确定存储量下界 s 和存储量上界 S ，当周期末库存小于 s 时订购，使下周期初的库存达到 S；否则，不订购。这种随机存储策略称为( s, S)存储策略。

问题分析：要制订最优的存储策略必须知道一个周期（如一天、一周、一个月等）内需求量的概率分布，以及订货费（包括每次的订购手续费、商品进购费）、存储费、缺货费（在随机需求的情况下，缺货几乎是不可避免的）。

这里有两个可以考虑的问题，第一个问题是：决策者在每个周期初，应该根据上个周期末的存储量确定是否订购。若订购，订购多少货物使期望总费用最小时的存储量称为最大存储量 S。第二个问题是：上个周期末的存储量不低于什么数值时，该周期初就可以不再订购，称这个决定不再订购的那个存储量 s为库存量进货点。即要解决的问题是已知一个周期内需求量的概率分布，并考虑订货费（包括每次的订购手续费，商品进购费）、存储费、缺货费的情况下，确定( s , S)存储策略，使期望总费用最小。

模型假设:

（1）只考虑一种物品, 其需求是随机的, 需求量 X是非负连续的随机变量，已知其密度函数为φ( x), 分布函数为Φ(x)。

（2）只考虑一个库存周期，即在库存周期开始时, 做一次决策, 决定进货量。

（3）瞬时供货。

（4）决策前原有库存量 I 为已知, 决策进货量为 Q , 决策后的库存量为y = I +Q。

（5）费用包括订货费、存储费和缺货费，每次的订购手续费为 K, 货物单价为 p， 存储费在周期末结算, 它与期末的库存量成正比, 比例系数为 h（单位存贮费）；缺货费与缺货量成正比,比例系数为 g（单位缺货损失费），这些量根据该商品的以往销售经验均为已知。

（6）决策的准则是期望总费用最小。

模型的建立与求解：

库存问题有补充—库存—需求三个环节。 在这一次进货库存系统中，若一次进货量多，进货的费用就大，库存量也大，库存费用就大，但造成缺货量就可能小，缺货损失费就会小；若一次进货量少，进货费用就小，库存量也小，库存费用就小，但造成缺货量就可能大，缺货损失费就会大。如何协调这些矛盾，确定( s, S)存储策略，使该周期内期望总费用最小。

进货费用为

可知，给定需求量X 的密度函数为φ( x)、货物单价 p 、单位存贮费 h、单位缺货损失费g，由（7）即可确定使期望总费用函数达到极小值时的存储量 S，即为问题一的解。

设 s 为库存量进货点, 即当初始库存I ＜s时, 进货至 S，有L ( I )≥ K +p (S - I )+L ( S )（即此时需进货，因进货后费用减小）。

当I ≥s时,不进货。库存量进货点 s对应总费用为L ( s), 它应不大于y =S（此时进货量为S -s）的总费用K +p (S - s )+L ( S ), 即L ( s )≤ K +p (S - s )+L ( S )（即若此时再进货后费用增大）。(www.xing528.com)

可知，在确定出最大存储量 S的前提下，由(8)式就可确定出库存量进货点 s，即为问题二的解。

若模型假设（1）改为需求量 X是非负离散随机变量, 分布律为

s 是满足上式的最小正整数。

例1 设某公司用某种原料进行生产，已知该原料每吨单价为800 元，订货手续费为60 元，存贮费为每吨40 元，缺货损失每吨1015 元，原有存贮量为10 吨。 已知原料需求量 X 的概率分布为P (X=30) =0.2, P (X=40) =0.2, P (X=50) =0.4, P (X =60) =0.2。

求该公司订购原料的最佳方案，即存储策略( s , S)。

解 由模型假设有:K=60,h=40,g=1015, I=10,p =800，

因为P (X=30) =0.2 ＜0.204, P (X=30)+P (X=40) =0.4 ＞0.204，

所以S=40,Q = S - I=30，

又因为K +pS +L ( S ) =40260

800×30+1015×[(40－30)×0.2+(50－30)×0.4+(60－30)×0.2]=40240≤K +pS +L ( S )，

所以s=30。故存储策略为每个阶段开始时检查存储量 I, 当I ＞30吨时不必补充存储；当I ≤30吨时补充存储量到40 吨。

例2 某市石油公司希望确定一种油的存储策略, 以确定应存储的油量。 该油的市场需求服从指数分布, 其密度函数为

该种油每千克2 元, 不需进货手续费。 由于油库归该公司管辖, 油池灌满与没灌满时的管理费用实际上没有多少差别, 故可以认为存储费用为零。如缺货就从邻市调用, 缺货费用为3 元/千克。

点评：在不考虑收入的条件下探讨了某商品的储存策略，使得期望总成本费用最小，案例内容贴近现实生活，所得结论具有直观科学意义，且在其他情景下也能方便应用。此案例确是数学建模课程的极佳素材。此案例由给排水2014 级01 班杜亚龙（201400856）、刘伟（201400830）、张泽玺（201400844）3 名同学合作提供，入选时经过校正和修改。最后需要指出的是，案例10 与案例9 有不少类似之处，只是问题情景有所不同，如果结合案例10 与案例9 设置出同时考虑总成本费用和总收入的实际问题情景，必将得到意想不到的收获，请有兴趣的读者探讨。