案例：传染病感染人数的估算解析

21 世纪初，瘟疫还经常在世界的某些地方流行。被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？科学家建立了数学模型来描述传染病的蔓延过程，医学界也深入探讨了每一种瘟疫的传染机理，以便对这些问题做出科学的回答。

问题：请利用概率论的知识讨论传染病的蔓延过程，估算平均每天有多少健康人被感染。

问题分析与模型假设：假定对某种传染病来说，人群中只有病人和健康人两类，健康人是可能被感染者，健康人被感染立即就成为病人（不存在潜伏期）。假定该传染病还处于发病初期，还未采取隔离措施，任何两人之间的接触是随机的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的。问题在于一旦掌握了这些随机规律，那么如何去估算平均每天有多少健康人被感染，这种估算的准确性有多大?

根据以上分析，给出以下假设：

（1）设人群只分病人和健康人两类，初始时刻某传染病病人数 i、健康人数 s，总人数 n都已知，显然i + s =n；

（2）人群中任何二人的接触是相互独立的，具有相同概率p，且已知每人每天平均与m人接触；

（3）接触与感染也是相互独立的，当健康人与一病人接触时，健康人被感染的概率λ可由以往统计数据估计给出，故假设为已知。

模型建立与求解：由假设（2），总人数 n中任何一个人（病人或健康人）每天接触的人数 X 为随机变量，服从b ( n-1, p)，且平均值是 m，即 E ( X)= m = ( n-1)p ，(www.xing528.com)

又设一健康人被一名指定病人接触并感染的概率为 p1，则由假设（3）及2.1 式得

那么一健康人每天被感染的概率（即至少被 I 个病人中的其中1 人感染） p2为

由于 s 个健康人中每天被感染的人数 Y 服从b( s, p2)，其平均值 μ,即

该问题要求对 s个健康人中每天被感染的人数 Y的平均值 μ与标准差 σ进行估算，而不是估计，因估计是统计语言，需要得到抽样信息或依据以往统计数据，该问题都没有提供。

最后得到平均值 μ及其相对误差的近似值分别为

点评：案例8 涉及若干个随机变量及其二项分布、数学期望及其意义、微积分近似，案例内容贴近现实生活，所得结论具有直观科学意义。此案例也是数学建模课程的极佳素材。此案例由给排水2014 级01 班崔鑫宇（201400821）、聂祥（201400837）、杨哲铭（201400835）3 名同学合作提供，入选时经过校正和修改。最后需要指出的是，此案例将健康人中每天被感染的人数当作离散型随机变量对待，属于随机模型问题，如果将其当作连续型确定性变量对待，则成为微分方程模型问题，有兴趣者可以继续探讨，如果将结果进行比较，必将得到意想不到的收获。