简单排队问题解析与案例精选

在日常生活中排队现象无处不在，如银行、售票、安检、餐厅等服务窗口，都会出现排队现象。

在某一时刻，当需要服务的客户数量超过服务台的数量时，就需要排队等候，出现排队现象。这里需要服务的客户数量是一个随机变量，在实际问题中都假定服从一定的分布，而服务台的数量一般是根据一定的条件、需要人为配置的。

应用概率论的知识，就可以解决简单排队问题。

例1 某校有学生5000 人，有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排队的现象。经调查，发现每个学生在傍晚有1%的可能性要打水，即占用一个水龙头。该开水房现有水龙头数量为45 个，请问：

（1）新装水龙头前，需要排队等候的概率是多少？(www.xing528.com)

（2）需至少多少个水龙头，才能有95%以上的概率保证不排队等候？

另外，如果只有1 个服务台，当客户的平均到达率大于服务台的平均服务率时，需要排队等候，且排队的队长就等于客户的平均到达率与服务台的平均服务率的差。比如，如果平均每3 分钟到达一个客户，则客户的平均到达率为每小时20 个；而如果服务台对每个客户的平均服务时间为5 分钟，则服务台的平均服务率为每小时12 个；因此，这种情况下每小时的队长就为20-12=8 人。在实际中，服务台对客户的服务时间是随机变量，服务率（服务时间的倒数）也是随机变量；而客户等待服务的时间（即排队时间）也是一个随机变量，排队时间越长，队长也就越长。读者在解答下面两个问题中，体会并理解相关概念的细微区别。

求：（1）客户离开的概率；

（2）写出 Y 的分布律，并求P ｛Y ≥1｝。