贝叶斯公式在概率统计中的广泛应用

正因为贝叶斯公式渗透着人类认识事物过程中的具有普遍意义的思想方法，其应用的广泛性就是必然的，在各领域都具有广泛的应用。在此，只能通过举例略见一斑。

例1（流水线追责与奖励） 设某工厂有甲、乙、丙3 个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%、20%，且各车间的次品率分别为4%、2%、5%，现在从一批产品中检查出1 个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？

由此可见，该次品由甲车间生产的可能性最大。

有趣的是，甲车间的次品率为4%不是最大，但该次品由甲车间生产的可能性最大，主要因为甲车间的产量占全厂的45%为最大。这与现实生活中的好多事实是相符的，比如技术虽好，但干活多了，出错的概率难免会大一些，相反，技术虽差，但干活很少，出错的概率自然不大。可知，全概率公式与贝叶斯公式就是这种科学事实的数学依据，告诉管理者鼓励职员多干活，干了多少活就应得到相应的工作量报酬，而不是出错就惩罚，那样的话，有谁愿意去多干活呢？毕竟，每个人出错的概率应该不高于某个给定标准，否则或使其退出职位或自费培训，惩罚应该只是针对极少数人的，正所谓“法不责众”。

按此比例来奖励可以激励职员在多干活的基础上提高技术，多出好成果，正所谓“重奖卓异”。

该题目也表明，在机器检查 “试验反应为阳性”的条件下，确有癌症的正确性检查只有8.7%（即1000 人具有阳性反应的人中大约只有87 人的确患有癌症），所以在机器检查的基础上进行医生诊断也是非常必要的，人们常常喜欢找“有经验”的医生给自己治病，就是因为医生过去的“经验”能帮助医生做出比较准确的诊断，分析导致某个病症出现的最可能的病因，才能起到对症下药，帮助病患解除痛苦的效果。遗憾的是现实中不少医生往往仅凭质量上不完全可靠的机器检查结果武断得出诊断结论，说明提高医疗设备的质量和医生的诊断水平都是提高诊断准确率的重要途径。该题目中还表明，P ( B | )A 与 P ( A | B)是两个不同事件的概率，可能相差很大，该题中前者为0.95，后者只有0.087，应用实践中不能将两者混淆。

例3（《狼来了》故事的概率解读：认识的不断修正）

《狼来了》选自《伊索寓言》，其故事大意是：从前，在一个僻静遥远而又淳朴的山村里，有一个小孩，每天都会赶着成群的羊到山间的草丛里吃草。因为山里经常会有狼出没，所以山民对狼的警惕性很高。有一天，他闲得无聊，想要做点“刺激”的事情，于是在山上喊：“狼来了！狼来了！”山下的村民闻声便拿起“武器”冲出去打狼，可是到了山上，并没有发现有狼的踪迹，山民奇怪而又无奈地回去了；第二天小孩故伎重施，又一次欺骗山民，喊到“狼来了，狼来了”。到了第三天，狼果真来了，可此时，无论小孩怎么喊叫，也没有人上山来救他，最后羊群被狼所“追杀”。(www.xing528.com)

从而，由贝叶斯公式，小孩第一次说谎，山民对他的信任度

同理，再由贝叶斯公式，当小孩第三次说谎时，山民对他的信任度为

这个数据表明，山民对小孩的信任度由0.138下降到0.03，由于前两次小孩对山民的欺骗，所以山民们第三次听到喊声几乎没有人上山救小孩。

这里3 次应用了贝叶斯公式，相当于经过了3 次认识修正过程：山民对小孩的信任度由最初的0.8（最初的先验概率）下降到0.444（第一次认识的后验概率，也是第二次认识的先验概率）再下降到0.138（第二次认识的后验概率，也是第三次认识的先验概率）最后下降到0.03（第三次认识的后验概率，也是经过3 次认识后终结概率）。从概率意义上说，认识过程就是根据已有的经验和知识推断一个先验概率，然后在新证据不断积累的情况下得到后验概率，这个后验概率作为下一次认识过程的先验概率，经过多次新证据不断积累的情况下，人们不断接近对事物的客观认识。

全概率公式与贝叶斯公式作为条件概率的重要应用，在解决某些实际生活以及其他领域中具有因果关系的事件的概率问题中起到十分重要的作用。这种因果关系分析可以上升到哲学因果论，先验概率与后验概率在各领域中的应用也可以上升到哲学认识论。

贝叶斯公式还有广泛应用和理论价值，如贝叶斯估计、贝叶斯分析、贝叶斯统计。