概率统计中的期望与方差综合应用

问题：（1）求细菌的平均繁殖速度；

（2）假设t=0 时刻，有10 个细菌放入一器皿里，求5 小时后，器皿里平均细菌个数。

例6（血液检测分组问题） 某地区共有N 人参加血液疾病普查。假设每个人血液检测为阳性的概率都为p，且这些人的试验反应是相互独立的，现在采用两种方案进行血液检测。

方案一：逐一进行检测，共检测N 次。

方案二：将每k 个人的血液进行混合后检测，如果混合血液检测为阴性，说明k 个人的血液都呈阴性，只需1 次检测。如果混合血液检测为阳性，需要对k 个人的血液分别检测，共需k+1次检测。试讨论选取哪个方案，使检测的次数比另一方案要小。

（1）当p 如何取值时，选取方案一；

（2）当p 与k 如何取值时，选取方案二；

（3）如果选取方案二，又如何选取适当的k 值，使检测的次数最小。

分析 按方案一，逐一进行检测，共检测N 次，这是确定的；

p=0.1(www.xing528.com)

p =0.25

p =0.3

p =0.35

随着p 值的再增大（如p=0.35），对于任何k 值，均选取方案一，检测次数为N。

可知，每个人血液检测为阳性的概率p 值的大小决定了如何选择方案，并决定了平均检测次数，且决定了平均检测次数最小时的分组人数k。但是，p 值往往依据医学机理或经验估计而得到。

反思 该题目中随机变量X 的选择是非常巧妙的。关于p 与k 取值的讨论，用MATLAB 画出函数图像将更加直观。当p 值较小时，分组人数k 较大，选取方案二平均检测次数最小；从理论上，当p 值接近于0 时，平均检测次数最小可以接近于0。该题目中隐含着分组后恰好分完，如果分组后，还有剩余呢？

思考：方差大些好还是小些好？有关数学期望与方差的更多案例参见本书案例部分。

随机变量其他数字特征有中位数、分位点、矩、协方差、相关系数、协方差矩阵、偏度系数、峰度系数、变异系数、熵等。

与随机变量有关的函数除了分布函数与概率密度函数外，还有特征函数、矩生成函数、概率生成函数（也称为概率母函数，简称母函数）等。