概率统计案例教学：深化学生统计思想与方法的理解及应用

概率统计的教学不仅培养学生基本的数学素养，更要使学生理解其统计思想，应用统计方法。只有掌握了统计思想，才能将其对应的统计方法很好地应用到各个学科的研究领域并有所创新。离开了统计思想的讲授，概率统计的教学就会成为无本之木、无源之水，造成的后果是，学生对其所学知识只知其然而不知其所以然，更谈不上对知识的灵活应用及创新。因此，理工科概率统计的教学应重视统计思想和统计方法的讲授，以便学生在以后的工作及科研中不仅能熟练灵活地应用现有的统计方法，同时也有一定的能力应对各种新的问题，提出新的统计方法。

概率统计中的统计思想主要体现在数理统计部分，参数估计和假设检验是其核心内容，对这一部分内容的掌握程度关系着对统计方法的使用是否正确。在参数估计问题中着重讲解参数估计在实际应用中的重要性、参数估计的合理性以及应用中应注意的问题，区间估计中对置信区间的理解、单侧置信限在应用中的意义，点估计和区间估计的区别等；对于假设检验的讲授，应从学生熟悉的问题出发，重点要理解实际推断原理，在此基础上通过实例分析假设检验的三个原则：（1）对原假设采取保护态度，即检验者对原假设有倾向性；（2）概率意义上的反证法，这是假设推断的逻辑基础；（3）控制犯第一类错误的概率。通过这些内容的详尽讲解抽象出一般方法步骤，使学生真正理解假设检验的原理和思想内涵、如何选取原假设和备择假设、对问题得出的结论进行合理的解释。教学中，应根据实际，尽量以直观的、通俗的、最新的实例重点阐述数理统计的思想和方法及其应用的背景。

（1）求这批电池的平均寿命及方差的矩估计；

（2）求这批电池的平均寿命及方差置信水平为0.95 的置信区间；

（3）是否有理由推断这批电池的平均寿命和波动性较以往有显著的变化（α =0.05）？

分析：这批电池的平均寿命及方差就是该问题中正态总体X 的总体均值μ 和总体方差2σ 这两个未知参数，此案例分别属这两个未知参数的点估计、区间估计和假设检验问题。(www.xing528.com)

此案例深刻地揭示了点估计、区间估计、假设检验等统计思想和统计方法的区别和联系，既减少了不必要的公式的记忆，又能在课堂上有充分的时间来讲解统计方法的原理与意义。特别是，因为点估计无法回答误差和可靠性问题，区间估计是对点估计的一种补充，但区间估计中误差限随置信度的增大而减小，也随样本容量的增大而减小，区间估计的置信区间恰好是假设检验的接受域。像这样有实际背景的且学生熟悉的应用的例子有很多，教学中，应通过一题多问或一题多解的方式来分析统计思想和方法的不同应用、不同作用,适时设置内容新颖的实际问题情境(如新生儿体重、手机使用寿命等问题统计推断)。为加强学生灵活地应用统计思想和统计方法，也应增加描述性统计的思想和方法，如数据分布的箱尾图、茎叶图、直方图、正态概率纸的原理及简单的应用，这些看似简单的方法更易于在实际中广泛应用。

案例5（由误差限和置信度确定样本容量） 假设某个咨询公司进行某种产品销售额数据抽样时建议，误差限不大于5 元，置信度为95%。以往数据显示销售额数据的标准差为25 元，请问需要多大的样本容量才能实现上述抽样结论？

（1）某公司要了解其售后服务的顾客满意度情况，随机抽取了100 位顾客进行调查，其中只有5 人回答满意，95 人回答不满意。根据此信息，可以推断该公司售后服务的所有顾客中满意的仅占5%，该公司售后服务质量急需提高。

（2）试证明样本比例是总体比例的无偏估计。

案例7（由误差限、置信度和样本比例确定样本容量） 假设审计程序中要求包含错误的销售发票的总体比例在置信度为95%的前提下的误差限是0.07，而且过去几个月的数据显示，最大的样本比例不会大于0.15。 请问需要多大的样本容量才能实现上述抽样结论？