突出随机变量分布内在联系

导读：常见分布之间关系实质上就是随机变量的函数的分布，即一个随机变量的函数仍是一个随机变量，正因为函数关系是无法穷尽的，所以随机变量的种类及其分布也是无法穷尽的！本专题利用分布函数法，由正态分布引入对数正态分布、截尾正态分布、威布尔正态分布等重要分布，说明了分布函数法及正态分布的广泛理论价值和应用价值。

只有勤于思考，善于归纳总结，抓住重点与主线，以函数为主要工具，掌握常见的或有广泛应用的几个分布及其重要性质、主要应用，才有可能把握复杂随机现象内在的统计规律性。

常见分布之间的关系实质上就是随机变量的函数的分布，即一个随机变量的函数仍是一个随机变量。

引例1 （股票价格问题）已知某种股票现行的市场价格为每股100 元，假设股票每年价格增降有20%与 -10%两种等可能状态，试讨论3 年后该股票的市场价格。

分析 因为3 年中股票价格增长的年数是一个随机变量，设为X ，则3 年中股票价格降低的年数Y= 3- X，由题意 X ~ B(3,0.5)， Y ~ B(3,0.5)，从而3 年后该股票的市场价格是一个随机变量，设为Z ，由题意Z =100 ×1.2 X×0.9Y =100 ×1.2 X×0.93-X ，依次列举X 的不同取值0，1，2，3，便得到Z 的取值是72.9，97.2，129.6，172.8，且X 与Z 取上述各值的概率对应相等，分别为0.125，0.375，0.375，0.125。

显然，上例中有3 个随机变量X ，Y，Z ，且Y 与Z 都是X 的函数。

正因为函数关系是无法穷尽的，所以随机变量的种类及其分布也是无法穷尽的！只有我们勤于思考，善于总结归纳，抓住重点与主线，以数学为主要工具，掌握常见的或有广泛应用的几个分布、重要性质、主要应用，才有可能把握概率统计理论的全貌。

首先，必须掌握正态分布的重要性质和广泛应用，因为正态分布在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中起着特别重要的作用。具体表现在3个方面：一是在自然界和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。由中心极限定理，只要某一个随机变量受到许多相互独立随机因素的影响（即这个随机变量可以分解为许多相互独立随机变量之和），而每个个别因素的影响都不能起决定性作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态分布。例如，一个地区的男性成年人的身高、测量某零件长度时的误差、海洋波浪的高度、半导体器件中的热噪声电流或电压、一个城市在某一指定时刻的用电量等都服从正态分布。二是很多随机变量与正态分布的随机变量存在某种函数关系，或者说很多随机问题可以转化为正态分布来解决。例如，对数正态分布就是通过取对数后转化为正态分布，截尾正态分布就是去掉正态分布中取负值的那一部分，使取正值的那一部分概率密度曲线下的面积仍为1。三是正态分布具有一些良好的性质，如可加性、可再生性等。

其次，我们要掌握求解随机变量函数的分布的常见思想方法。具体有4种思想方法：一是对离散型随机变量，可用枚举法；二是分布函数法，这是一种求解随机变量函数的分布的根本的思想方法；三是应用随机变量函数的分布定理，比较简洁，但必须满足定理条件后才可用，在有些情况下不能直接应用此定理；四是应用概率微元分析法，此法将微积分的思想方法应用于概率问题，常应用于理论证明中。后2种方法是分布函数法的简化或抽象。下面，用分布函数法，由正态分布再引入对数正态分布、截尾正态分布、威布尔正态分布，也说明了正态分布的理论价值和应用价值。

例1 设X ～N (μ ,σ 2)，且Y = eX,求：

（1）Y 的分布函数；(www.xing528.com)

（2）Y 的概率密度；

（3）Y 的可靠度函数与失效率函数；

（4） E (Y ) ， D (Y ) 。

解（1）Y 的分布函数

本例中随机变量Y 服从对数正态分布，对数正态分布就是通过取对数后转化为正态分布。

例3 求正态截尾分布的随机变量Y 的概率密度函数、分布函数、可靠度函数和失效率函数。

这3个结论表明，任意分布都可以变换为均匀分布、指数分布、正指数分布。更为有趣的是，这3个变换都是可逆的，即由均匀分布、指数分布、正指数分布都可以进行相应的逆变换得到任意分布。

例如，由服从均匀分布的随机变量Y，由X =F -1(Y )，可产生服从任意分布 F ( X )的随机变量X 。如设Y 服从均匀分布 U(0,1)，由X=-ln(1 - Y)，则产生随机变量X 服从参数为1 的指数分布，这里X =F -1(Y )= -ln(1 -Y)是参数为1 的指数分布的分布函数F ( X)=Y=1 -e -X 的反函数。 说明了均匀分布的广泛应用性，这也许是贝叶斯统计推断中，在没有先验分布时，将先验分布假定为均匀分布的原因。

同理，由指数分布进行相应的逆变换可得到任意分布，也说明指数分布的广泛应用性，特别是在寿命分布与可靠性方面的应用。

总之，常见分布之间的关系实质上就是随机变量的函数的分布，即一个随机变量的函数仍是一个随机变量，正因为函数关系是无法穷尽的，所以随机变量的种类及其分布也是无法穷尽的！丰富多彩的随机变量之间正是通过无穷尽的函数关系Y =g ( X)联系起来。只有我们勤于思考，善于归纳总结，抓住重点与主线，以函数为主要工具，掌握常见的或有广泛应用的几个分布、重要性质、主要应用，才有可能把握复杂随机现象内在的统计规律性。