在专题5 中，在放回抽样的背景下，引入了相互独立的(0,1)分布序列、几何分布、负二项分布、二项分布、泊松分布，这几个分布都是放回抽样下一类离散分布模型；在不放回抽样的背景下，引入了不是相互独立的(0,1)分布序列、“类几何分布”、“类负二项分布”、超几何分布、“类泊松分布”，这几个分布都是不放回抽样下另一类离散分布模型。有趣的是，放回抽样下的负二项分布、二项分布、泊松分布都具有可加性；而不放回抽样下的“类负二项分布”、超几何分布、“类泊松分布”却没有可加性。由此，可以猜想，离散分布的可加性也许是由放回抽样下事件或随机变量之间的独立性决定的。
下面，我们给出负二项分布、二项分布、泊松分布可加性的数学证明，并结合直观概率思维进行解释，会得到更深刻的认识和启发。形式上的证明使人相信结果是对的，但不能提供直观上的启发性，用“概率思维”解释概率分布的可加性能提供直观上的启发性，这种启发性又具有迁移类比的特点，这是许多数学发现的根源。
例1 设X 与Y 是两个独立的随机变量，且X～NB(r1,P)，Y～NB(r2,P)，证明：
X+Y～NB(r1+r2，P)。
证明 首先，因X 可取 r1 ， r1 + 1，…，Y 可取 r2 ， r2 + 1，…，故随机变量X + Y可取r1 + r2， r1 + r2 + 1，…。
其次，由独立性及概率的可加性，得到X + Y的分布律为
例2 设X 与Y 是两个独立的随机变量，且X～B(n1，P)，Y～B(n2，P)，证明：
证明首先，因X 可取0，1， …， n1 ，Y 可取0，1， …， n2 ，故随机变量X + Y可取0，1，…， n1 + n2。
注：作为特例，参数为n，p 的二项分布是n 个相互独立的(0,1)分布（即为参数为1，p 的二项分布）的和。(www.xing528.com)
例 3 设X 与Y 是两个独立的随机变量，且X ~ P (λ 1 )，Y ~ P (λ 2 )，证明：X +Y ~ P (λ1 +λ2)。
证明 首先，因X 可取0，1，2，…，Y 可取0，1，2，…，故随机变量X + Y可取0，1，2，…。
其次，由独立性及概率的可加性，得到X + Y的分布律为
其中k =0，1，2，…，q= 1- p，即X +Y ~ P (λ1 +λ2)。
注：由专题4 可知，泊松分布可通过二项分布来产生，或者说泊松分布与二项分布有相同的产生机制，类比二项分布可加性的解释，可得到泊松分布可加性的概率思维解释。
例4 （库存准备问题）假设某盒饭的快餐店每天营业时间为6:00—22:00，分为五个时段：6:00—10:00，10:00—13:00，13:00—16:00，16:00—20:00，20:00—22:00，经统计各时段内盒饭的平均销售量分别为3 百份，5 百份，3 百份，7 百份，1 百份，各时段内盒饭的实际销售量分别为X 1，X 2，X 3，X 4，X 5，相互独立，且均服从泊松分布。问最少需要多少份盒饭库存能够有90%的把握保证供应？
解 由泊松分布的可加性，每天总的实际销售量X = X 1+X 2+X 3+X 4+ X5服从参数为3 + 5 + 3 + 7 + 1 = 19的泊松分布，由题意，求最小的x，使得 P{ X ≤ x} ＞0.9，查表得x= 25，即最少需要准备25 百份盒饭能够有90%的把握保证供应。（参见本书案例部分）
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