简析概率统计：级数与积分的对等关系应用

导读：本专题涉及级数与积分，它们分别是处理离散型随机变量与连续型随机变量的数学工具。 Gamma 函数和Beta 函数作为含参变量的积分，是研究概率统计的不可或缺的基本工具。本专题将涉及Gamma 函数、Beta 函数、Gamma 分布、Beta 分布及泊松分布、指数分布和Gamma 分布之间的内在关系。

级数与积分分别是处理离散量与连续量的数学工具，两者有完全类似的定义、性质、收敛准则、应用等等，甚至有些级数与积分可以互相转化，从而连续量与离散量之间的转化就更加方便。正确理解、类比和灵活应用级数与积分之间的这种“对等关系”，在概率统计课程的学习中具有重要意义，为进一步深入学习其他相关课程（如可靠性理论、随机过程等）打下基础。本专题主要突出级数与积分在概率统计中的作用与应用，帮助读者理清概率统计中的一些难点问题和重点问题。

1．级数处理离散量，积分处理连续量

离散型随机变量（或离散型总体）分布列的规范性、分布函数、期望、方差、各阶矩、各阶中心距都是用级数的形式来表示的；连续型随机变量（或连续型总体）概率密度的规范性、分布函数、期望、方差、各阶矩、各阶中心距都是用积分的形式来表示的。

样本均值、样本方差、样本各阶矩、样本各阶中心矩都是有限形式的离散求和，当样本容量趋于无穷时就成为级数的形式。

2．多数概率密度函数用含参变量的积分来表达

（1）Gamma 函数和Beta 函数简单介绍

因t 分布与F 分布的构造中都用到了2χ 分布，故其概率密度中都用Gamma函数表示。

3.利用级数与积分的转化关系来证明一些重要结论或定理(www.xing528.com)

表2　连续型随机变量与离散型随机变量比较

当课程进入数学期望的时候，同样分为离散型和连续型来讲。先把离散型讲清楚，可画示意图用离散型去近似逼近连续型，让学生体会由求和过渡到积分的过程。尽管这不是严密的数学推导，但对于理解记忆很有帮助，不仅知道如何计算，也知其所以然，而不能只套用公式。

5．一次积分改写为二次积分，再交换积分次序证明一些重要结论；同样，交换求和次序证明一些重要结论

6．突出概率统计课与其他课程的内在联系，克服概率统计课学习的障碍

在多年的教学实践中，学生对“概率论与数理统计”的掌握程度比“高等数学”与“线性代数”的掌握程度要差一些，即使对前后努力程度一致的学生，也感觉如此。就其主要原因当然是课程内在的差异，也就是说“概率论与数理统计”课程是“高等数学”与“线性代数”的后续课程，其中很多知识点及计算公式都是“高等数学”中相应知识点或公式的直接应用，但时隔一个学期，学生对“高等数学”的相关知识已部分遗忘了，加上“概率论与数理统计”是刻画不确定现象中的统计规律性，是另一种思维方式，因此许多同学一时难以适应，造成学习障碍。因此，任课老师要及时帮助学生克服这种障碍，在讲授“概率论与数理统计”中相应内容时，及时帮助和引导学生复习“高等数学”的相关知识，如定积分、积分上限函数、无穷级数、二重积分等知识点，特别是微积分重要定理与思想、方法在该课程中的灵活应用。另外，在讲授古典概率部分时也要及时帮助和引导学生复习排列组合的相关知识，如加法原理、乘法原理以及排列、组合的计算公式等。