指数分布在可靠性中的应用

1.指数分布及其性质

（1）概率密度函数、分布函数

（3）无记忆性

指数分布最常见的一个场合是寿命分布。指数分布具有“无记忆性”，即对于任意s，t＞0,有 P{ X ＞ s +t |X ＞ s} =P{ X ＞ t}。

如果用X 表示某一元件的寿命，那么上式表明，在已知元件已使用了s小时的条件下，它还能再使用至少t 小时的概率，与从开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等。这就是说元件对它已使用过s 小时没有记忆。当然，指数分布描述的是无老化时的寿命分布，但“无老化”是不可能的，因而只是一种近似。对一些寿命长的元件，在初期阶段老化程度很小，在这一阶段，指数分布比较确切地描述了其寿命分布情况。若一元件遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击来到的时间（或寿命）服从指数分布。很多产品的寿命可认为近似服从指数分布。

指数分布的“无记忆性”是容易证明的，因为，

（4）期望与方差

如果某随机变量表示寿命分布，那么它的数学期望也称为平均寿命。指数分布的期望

2.由指数分布到 Γ分布，由指数分布到威布尔分布

指数分布既是特殊的Γ分布，又是特殊的威布尔分布，Γ分布与威布尔分布具有极其相似的概率密度函数。(www.xing528.com)

（1）指数分布族是Γ分布族的子族

若一元件在前n-1 次“冲击”后立即失效，但立即维修后就能正常工作，但积累到第n 次冲击时不能维修而失效，则第n 次冲击来到的时间（即为寿命）服从形状参数为n 的Γ分布。n 个独立同指数分布的变量之和服从形状参数为n 的Γ分布。

Γ分布的重要性质是关于形状参数α 具有可加性，关于尺度参数β 具有线性性质。即为如下结论:

（1）表明Γ分布关于形状参数α 具有可加性；（2）表明Γ分布关于尺度参数β 具有线性性质；（3）是（2）的直接应用，也说明了Γ分布与χ 2分布的关系；（4）由F 分布的构造得到。

注1：作为Γ分布关于形状参数α 具有可加性的特例，指数分布关于参数α = 1也具有可加性（即n 个相互独立的参数为λ 的指数分布和服从参数的Γ分布，此结论在可靠性中具有重要应用）；χ 2分布关于自由度也具有可加性。

注2：指数分布与χ 2分布的这种可加性完全是Γ分布关于形状参数α 具有可加性的具体体现。因为指数分布与χ 2分布是Γ分布的特例，或者说指数分布族与χ 2分布族都是Γ分布族的子族。指数分布关于参数λ 没有可加性；几个独立指数分布的最小分布（即串联）仍是指数分布，且参数为各参数之和，即指数分布具有“串联可加性”。

注3：将Γ 分布关于尺度参数β 具有线性性质应用于指数分布：如果X ~E （ λ ）则kX ~E （ kλ ），其中k ＞ 0。

（2）指数分布族也是威布尔分布族的子族

威布尔分布是从最弱环模型导出的。最弱环模型认为故障发生在元件的构成因素中最弱部位，这相当于构成元件整个链条的各个环节中最弱环节的寿命就是整个链条的寿命分布，这个链条的寿命就是威布尔分布。大量实践表明，凡是某一局部失效或故障就会引起全局机能停止运行的元件、产品、器件、设备、系统等的寿命都服从威布尔分布，特别是在研究金属材料的疲劳寿命问题时，轴承、金属材料的寿命也都服从威布尔分布，实际上，威布尔分布就是从研究金属材料的疲劳寿命问题中由瑞典的威布尔在1939 年首次引进的。