培养实践能力：概率统计解析与案例精选

导读：本专题涉及概率统计在实际问题中的广泛应用，突出了概率统计建模能力。本专题将会涉及一些典型的概率统计模型案例，了解数学建模的过程。

1.“概率论与数理统计”课程具有培养实践能力的天然优势

现实世界充满不确定性，我们研究的现实对象往往难以摆脱随机因素的影响。为使数学模型能够较真实地刻画实际现象，必须考虑如何描述这种不确定性，并掌握、应用随机现象及其统计规律性。概率统计是研究随机现象及其统计规律的一门核心数学学科。它不同于数学领域其他学科的思维方式，是用随机性思维认识物质世界和人类社会中处处显见的不确定性，是用统计思想方法探索不确定性的客观规律。它独具特色的科学探索思想贯穿在普通人的现代生活的各个方面，几乎在科学和工程的每一个分支中起着重要的作用。因此，“概率论与数理统计”课程具有丰富的实际背景，应用广泛。通过该课程的学习，不仅可以获得概率统计学科较为系统的基础理论知识和方法，更重要的是可以学到一种观察客观世界的随机性思维方式，学会一种描述偶然现象及其规律性的基本数学语言，掌握一种处理不确定性问题的常规数学工具或随机分析技术、统计分析技术和数据处理技术，培养一种运用随机思维方法和技术分析问题、解决问题的基本实践能力，奠定学习其他学科的坚实基础，进而得到创新精神和创新意识的培育、创新思维和创新能力的训练。

现在，学生的学习基础普遍不好，应贯彻“精讲多练” 的方针，让学生多练习，通过练习才能熟练地掌握所学内容。数理统计内容是概率论的重要应用，其应用十分广泛，在市场经济中越来越显示出其重要性，像金融业、保险业、证券业、气象学、卫生统计学、生产质量管理、经济统计等方面都大量应用数理统计学方法。我们应当引导学生学好这部分内容，强调统计思想，掌握统计学基本原理，为随机数学的应用打下良好基础。

2.创设应用情景，激发学习兴趣

兴趣是最好的老师。兴趣从何而来?一方面，要靠学生自己去寻找与发现；另一方面，要靠教师去积极引导，教师无疑要成为积极引导学生培养学习兴趣的重要角色。在教学中，应当密切联系实际问题，尽量多介绍一些概率模型，让学生深刻理解有关概念和方法，了解本课程丰富的背景，融会贯通，学以致用，以提高学生的学习兴趣，由被动转变为主动去学习。

比如，在几类重要的随机变量中，泊松分布、指数分布、 正态分布都具有丰富的背景。一家大型商店一天内接待的顾客次数、一个电话交换台一小时内接到的呼叫次数、一个路口一天内经过的机动车次数等均大致服从泊松分布。一种同类型的动物群体的寿命、各种元器件的寿命等大致服从指数分布。正态分布是一种误差分布，根据中心极限定理，一群同类人的身高及体重、一次大型考试的成绩、一地区在职职工的月薪等大致服从正态分布。再比如，在假设检验中，两个正态总体也有丰富的背景。在市场经济中，几乎每一种商品的生产厂家都不止一家。不同厂家的产品质量指标不同，需要对比，谁优谁劣。这就涉及多个总体的假设检验。讲课时，应尽量讲透这些背景，让学生扩大思路，能够直观地理解概念和方法，印象深刻，提高学习的自觉性，引导学生培养学习兴趣。

例 设某商店中某种商品的月销售量X 服从泊松分布。该商品前12个月的实际销售情况数据记录如下（单位：件）：5，4，4，6，4，5，3，6，6，7，5，5。

（1）试对泊松分布的参数进行估计。

（2）该商店在月初至少进货多少件，才能以95%以上的概率保证不脱销。

3.采用问题驱动的案例教学，培养学生的实践能力

因为“概率论与数理统计”课程具有丰富的实际背景，应用广泛，且应用的内容也随着社会发展、科学进步和社会需求而变化，所以将问题驱动的案例教学模式引入到“概率论与数理统计”的教学过程是该课程教学的必然趋势。在实际问题的驱动下，让学生自己去调查、分析、归纳，最后引导学生上升为“概率论与数理统计”课程中的定义、公式和定理，这种问题驱动的模式不仅提升了学生的学习兴趣，而且极大地提高学生解决问题的能力。

例如，大数定律反映了自然界中的一个客观规律，是概率论与数理统计课程中的非常重要的定律。它的主题内容是这样的：由于个体之间存在着差异，在一个大的总体中，如果我们仅关注一个个的个体，是杂乱无章、毫无规律可循的。在某一次的观察或试验过程中，由于随机现象的不确定性，它既可能出现，也可能不出现，偶然性较强。但在大量的重复试验中，如果我们着眼于总体，这些偶然性的因素就可以互相抵消，随机现象的出现就会表现出一定的统计规律性。于是我们结合大数定律编写了这样一个问题案例：彩票每期摇出的中奖号码是一个随机事件，以“上海风采”电脑福利彩票为例，该彩票从2001010—2001023 开奖计14 期共摇出14×8=112 个球，每个球平均出现3.6 次，其中奇数出现59次，偶数出现53 次，小于等于15 的数出现47 次，大于等于16 的数出现65 次，根据大数定律，我们总结出现号码概率分布的三条准则：（1）奇数、偶数出现的次数应占总数的0.5(不确定因素除外)；（2）1～ 10 区段、11～ 20 区段、21～ 30 区段各区段出现的数的个数之和应占总数的（3）各数出现的次数随着开奖次数的增加不断接近于平均出现次数。上述三条准则即是从大量的数据中总结出的某种规律，这就是大数定律，通过这三条准则，我们就可以缩小精选号码的范围，为新一期选择号码提供参考依据，提高中奖率。这样，让学生在日常生活中的具体事例中领会到大数定律的本质，学生接受起来会比较容易，学习的兴趣自然而然也就被调动起来了，也提高了学生解决问题的能力。

4.联系生活实际，开展概率统计实验课，培养学生实践能力

在教学中，建议成立 “概率学习兴趣小组”，每四周完成一次小组课外合作探索性课题。在课堂教学中，突出分析问题的思路方法，充分认识该学科的实用性，进而培养他们的实际操作能力及建模能力，再由他们去带动全班同学的学习。在教材的每一章末，可选择一至两篇有代表性的联系本章内容的概率应用案例或通俗文章，提供给“兴趣小组”，让他们开展讨论，认识其中的奥妙所在。利用课外对间，引导“兴趣小组”观察分析生活实际问题或相关专业中所涉及的概率统计知识理论，并鼓励他们通过建立相应的概率模型来解决实际问题或专业问题。为说明概率统计应用的普遍存在，以下列出应用概率统计知识理论所解决的实际问题：

（1）估计某水池中鱼的数量；

（2）分别测量本班男、女同学的身高，看是否符合正态分布；

（3）统计某书上的错别字，并判断是否服从泊松分布；

（4）在校门口，观测每15秒钟通过汽车的数量，检验其是否服从泊松分布；

（5）考察学生入学成绩与在校成绩的相关性；

（6）分析学习成绩与性别的关系；(www.xing528.com)

（7）分析父亲的身高与儿子的身高有何关系；

（8）统计每学期各科考试成绩并标准化而后排出名次；

（9）了解某鞋厂的生产计划；

（10）调查分析中学生课外作业负担是否过重。

同时，可创造条件，开展概率统计实验课。因概率统计课程有少量的习题课，没有专门的实验课，但是实验课将概率统计知识、数学建模与计算机应用有机结合融为一体，为学生亲自参与实践活动提供了很好的平台。教师给出一些具体的实际问题，让学生用概率统计知识去分析、简化、抽象出成熟的概率统计问题，然后探索使用适当的方法和统计软件，求解问题，分析结果，再发现问题，寻找原因，提出改进方案，得到满意的结果，最终写出实验报告。通过实验，学生能亲自动手设计实验方案和步骤，从心理、智力上经历解决问题的过程，使动手能力、创新意识得到培养，科学的实验方法得到培训。

5.概率统计的广泛应用催生了新的研究方法，诞生了新的研究方向

概率统计理论与方法的应用几乎遍及所有科学技术领域、工农业生产和国民经济的各个部门中。例如：

（1）气象、水文、地震预报、人口控制及预测都与概率论紧密相关；

（2）产品的抽样验收，新研制的药品能否在临床中应用，均需要用到假设检验；

（3）寻求最佳生产方案要进行试验设计和数据处理；

（4）预测商品的需求量，制订生产计划及有效的管理技术；

（5）电子系统的设计，火箭卫星的研制与发射都离不开可靠性估计；

（6）处理通信问题，需要研究信息论；

（7）探讨太阳黑子的变化规律时，时间序列分析方法非常有用；

（8）研究化学反应的时变率，要以马尔可夫过程来描述；

（9）在生物学中研究群体的增长问题时提出了生灭型随机模型，传染病流行问题要用到多变量非线性生灭过程；

（10）许多服务系统，如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人候诊、存货控制可用一类概率模型来描述，其涉及的知识就是排队论。

目前，概率统计理论进入其他自然科学领域的趋势还在不断发展。在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，都大量采用概率统计方法。法国数学家拉普拉斯（Laplace）说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题。”英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为。”

反过来，概率统计在各学科领域中的应用催生了新的研究方法，诞生了新的研究方向，如生物统计学、地理信息统计学等，正是这样一种与其他学科门类相辅相成的关系，概率统计成为最为活跃的近代数学分支。概率统计学科的发展活力来源于其实用性，脱离了应用，它就不可能产生有意义的问题和研究方法。美国统计学家Neyman 将统计理论应用于遗传学、医学诊断、天文学、气象学、农业统计学等方面，取得了丰硕的成果。他获得过国际科学奖，并在加利福尼亚大学创建了一个研究机构，该机构后来发展成为世界著名的数理统计中心。

在概率统计公共课程的教学过程中，面对不同的专业，应在教学内容上有所调整，针对专业特点设计一些模型和案例，让学生感受到这门课程与自己的专业学习息息相关，密不可分，这样才能激发学生的学习热情。比如面对医学院的学生，在讲授贝叶斯公式时，就可以告诉他们：人们常常喜欢找“有经验”的医生给自己治病，就是因为医生过去的“经验”能帮助医生做出比较准确的诊断，分析导致某个病症出现的最可能的病因，才能起到对症下药、帮助病患解除痛苦的效果。这样，既加深了对贝叶斯公式的理解，又激发了学习专业知识的热情。