概率统计理论的实际应用-专题7案例解析

导读：本专题涉及常见离散分布与连续分布在实际问题中的广泛应用，突出了概率统计理论的两个方面的应用：实际问题中的应用与理论再应用。由此专题，读者将会涉足指数分布的无记忆性、指数分布与泊松分布的内在关系等重要性质。

数学理论来源于实践，也应用于实践。数学理论往往是一种理论抽象，数学理论在现实生活中的应用多数也是在某种近似意义下的应用，从而数学理论在实践中的应用就更加广泛了，可以说大到宇宙，小至粒子，无处不有。

在大学数学课程中如何渗透数学模型的思想方法？这是当前我国大学数学课程教学改革的重要问题。我们在“概率论与数理统计”课程的教学中，尝试渗透数学模型的思想方法，突出概率统计理论在实际问题中的广泛应用，因为该课程有着与实际问题密切结合的天然优势。在教学中，应围绕教材、立足应用，不断挖掘常见分布的应用实例，必须重视应用型教学案例，积极鼓励学生将所学理论灵活应用于实际，并通过查阅资料、试验等手段开拓一些应用型教学案例，提高学生的创新能力。但是，应用实例无法穷举，只能“窥一斑而略见其貌”。

1.概率统计理论在现实生活中的近似应用

其实，概率统计理论在现实生活中的近似应用的实例也是不胜枚举的。如事件之间的“独立性”是一种理论抽象，现实生活中的事件之间的“独立性”多数是一种近似。从总体数量很大的总体中不放回地随机抽取少量样本，可以近似当作放回抽样来处理，且各次抽样之间也认为是独立的，即互不影响。在实用上，确有许多事件之间的相依性很小，在误差容许的范围内，也视为独立的，方便于问题的解决。又如n 重贝努利试验模型是一种理想化模型，在实际应用时，如果n 次试验近似满足“可重复性”与“独立性”，就可以视为n 重贝努利试验，相应的随机变量视为服从二项分布，且在一定条件下二项分布常用泊松分布来近似。再如指数分布描述的是无老化时的寿命分布，但严格无老化是不可能的，因而只是一种近似。对一些寿命长的元件，在初期阶段老化程度很小，在这一阶段，指数分布比较确切地描述了其寿命分布的情况。如人的寿命，一般在50 岁或60 岁以前，由于生理上老化而死亡的因素是次要的，若排除那些意外情况，人的寿命分布在此阶段也接近指数分布。特别是，很多分布近似为正态分布来计算处理。

例1 设某地扩建电影院，据分析平均每场观众数n=1600人，预计扩建后，平均的观众仍然会去该电影院，在设计座位时，要求座位数尽可能多，但空座达到200 或更多的概率不能超过0.1，问应该设多少座位？

解 把每日看电影的人编号为1，2，…，1600，设 iA 表示第i 个人还去电影院，且令

当上式取等号时，m 取最大，因为

查正态分布表即可确定m ≈1377，所以，应该设1377 个座位。

2.常见分布的实际应用

（1）（0,1）分布

（2）几何分布与类几何分布

例2 一批零件共有100 个，其中有10 个不合格品，从中一个一个取出，求第三次才取得不合格品的概率。

（3）二项分布

例3 （工作效率问题）设有80 台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法：一是由4 人维护，每人负责20 台；二是由3 人共同维护80 台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。

解 以A 表示设备发生故障时不能及时维修。(www.xing528.com)

（4）泊松分布

如果用X 表示某一元件的寿命，上式表明，在已知元件已使用s 小时的条件下，它还能至少使用t 小时的概率，与从开始使用时算起它至少能使用t 小时的概率相等。这就是说元件对它已使用过s 小时没有记忆。指数分布描述的是无老化时的寿命分布，但严格无老化是不可能的，因而只是一种近似。对一些寿命长的元件，在初期阶段老化程度很小，在这一阶段，指数分布比较确切地描述了其寿命分布的情况。如人的寿命，一般在50 岁或60 岁以前，由于生理上老化而死亡的因素是次要的，若排除那些意外情况，人的寿命分布在这个阶段也接近指数分布。可以证明：失效率为常数λ 的分布（即无老化的分布）是以λ 为参数的指数分布。指数分布最常见的应用就是寿命分布，如手机的使用寿命等（手机的平均损坏率就是其失效率）。指数分布在寿命研究、可靠性理论与排队论中有广泛的应用。如某顾客在某窗口等待服务的时间、母鸡两次下蛋之间的等待时间都可看作指数分布。

此例说明了泊松分布与指数分布的内在关系。

（7）正态分布

在自然界和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。由中心极限定理，只要某一个随机变量受到许多相互独立随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态分布。例如，一个地区的男性成年人的身高、测量或生产某零件的误差、海洋波浪的高度、半导体器件中的热噪声电流或电压、一个城市在某一指定时刻的用电量、某城市的年降雨量等都服从正态分布。在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中正态随机变量起着特别重要的作用。

有趣的是，这些概率值与正态分布的3δ 原则可以对比。

3.概率统计理论的理论应用

随机事件或随机变量之间的独立性是概率统计中的一个非常重要的概念。

注：上述各式中最后一个等号成立的条件都是X 、Y 相互独立，其余等号都是定义或一般条件下的计算公式。随机变量自己与自己的协方差就是方差。

可以看出，独立必不相关，但反之不然（请读者给出反例），因为独立性是指没有任何相依关系，不相关只是没有线性相依关系，显然没有线性相依关系，可能还存在其他相依关系。下例就是不相关的几个等价刻画。

例13 对任意非退化的随机变量X 、Y，以下5 个命题相互等价：

请读者给出X 与Y 独立的一些等价命题，以进一步加深对独立性与相关性的理解。相依系数是两个随机变量或事件一般相依程度大小的度量，相关系数只是两个随机变量或事件线性相依程度大小的度量。

4.统计学理论的哲学意义

统计学中讨论的一类问题及其过程是：如何设计实验以便提供所要求的数据，如何从实验结果中获取一切有效信息，以及如何在实际中应用这些信息。或者说统计活动过程由统计设计、统计调查、统计整理和统计分析这四个环节构成。从统计学的角度来看，从经验或实验中获取的知识是不确定的，但在实际生活中，不管这些已有的知识如何贫乏，我们不得不以此做出决策。统计学关注的是如何探知由观察数据获取的知识中的不确定性的度量，以及如何明确在最小损失下的最优决策。统计学是用来解决其他学科问题的某种艺术、逻辑、技术，人类活动范围内的一切领域都要求统计学的专业知识和技术。