概率统计解析与案例精选

导读：本专题涉及二项分布及其可加性、正态分布的广泛应用背景、指数分布与均匀分布等常见连续分布，突出了概率统计理论与统计直观的关系。本专题将会涉及总体、样本、顺序统计量、估计、无偏估计等重要的统计概念。

数学直观在数学发现中非常重要，教学中我们要重视数学直观的作用。但是，并非任何数学理论或概念都能借助直观来理解或发现。因为，任何数学概念（包括概率中的数学概念）都直接或间接地来源于现实世界，是对实际问题的一种抽象，未必能在现实世界中找到“对应物”。事实上，许多数学概念在现实世界中是无法找到“对应物”的，也无法通过直观来理解，只能是一种理论抽象。一句话，数学理论来源于实际问题，但高于直观实际，因数学理论是在实际问题的基础上进行抽象得到的。所以，我们应理解并处理好数学直观与抽象数学理论的关系，这对数学研究及数学教学都有非常重要的意义。在“概率论与数理统计”课程中，概率统计理论与概率统计直观一致或不一致，本专题分别给出这两个方面的实例。

1.概率统计理论与概率统计直观一致的实例

（1）二项分布在实际问题中的广泛应用充分体现了概率理论与概率直观的一致性

n 重贝努利试验（即将试验E 独立地重复地进行n 次）中，事件A 发生的次数X （即频数）服从以 n, p 为参数的二项分布。参数n=1 的二项分布是(0,1)分布。二项分布或者说n 重贝努利试验是一种很常见、很重要的数学模型。事实上，常见离散分布都可以通过二项分布联系起来，二项分布是常见离散分布的核心，凡是出现频率的场合都涉及二项分布。由贝努利大数定理，频率依概率收敛于概率p，这是概率的统计定义与二项分布广泛应用的理论依据。另外，概率统计中的n 个独立同分布的随机变量序列或容量为n 的简单随机样本都可以看作n 重贝努利试验模型的理论应用，但每个随机变量或每个样本点的所有可能的取值未必如贝努利试验一样只有两个结果0 或1。

（2）正态分布在实际问题中的广泛应用充分体现了概率理论与概率直观的一致性

在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中正态随机变量起着特别重要的作用。在自然界和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。例如，一个地区的男性成年人的身高、测量某零件长度时的误差、海洋波浪的高度、半导体器件中的热噪声电流或电压、一个城市在某一指定时刻的用电量等都服从正态分布。事实上，由中心极限定理，只要某一个随机变量受到许多相互独立随机因素的影响（即这个随机变量可以分解为许多相互独立随机变量之和），而每个个别因素的影响都不能起决定性作用，那么就可断定这个随机变量服从近似进服从正态分布。这说明正态分布有非常广泛的应用客观背景和充分的理论依据。

（3）二项分布的可加性的理论证明与概率直观是一致的

例1 设X 与Y 是两个独立的随机变量，且X ~B （n1 ,p ），Y ~B （n2 ,p ）。证明：X +Y ~B （n1 +n2 ,p）。

证明 首先，因X 可取0,1, … ,n1，Y 可取0,1, … ,n2，故随机变量X + Y可取0,1, …,n1 +n2。

事实上，二项分布的可加性的理论证明与概率直观是一致的。

我们也可用概率直观或概率思维解释二项分布的可加性：若X i~B （ni ,p）i=1， 2，…，m ，而X i独立，则X 1+X2+ …+Xm ~B （n1 + n2+ …+nm ,p）。因X i是在 n i次试验中事件A 发生的次数，且每次试验中A 发生的概率为P ，故X 1+X2+ …+X m 是在 n1 + n2+ …+nm 次独 立 试 验 中 事 件 A 发 生 的 次 数 ， 按 二 项 分 布 的 定 义 ，X 1+X2+ …+Xm ~B （n1 + n2+ …+nm ,p）。需要说明的是，二项分布可加性的严格证明可用归纳法给出，形式上的证明使人相信结果是对的，但不能提供直观上的启发性，用“概率思维”解释二项分布的可加性能提供直观上的启发性，这种启发性又具有迁移类比的特点，这是许多数学发现的根源。

（4）概率直观与概率理论是解决某些概率问题的一致途径

求解条件概率时既可通过条件概率的定义或直观含义（缩小样本空间），也可以用条件概率公式。判断两个事件的独立性，既可以通过独立性的直观含义：两个事件之间互不影响，没有相依性；也可以通过计算 P （ AB ）与 P （ A ） P （ B ），若二者相等，则独立，否则不独立。等等。

例2 （赛制与选手实力分析的关系）在某一比赛中，假设各局胜负相互独立，根据甲、乙两选手以往战绩得知，一局中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为1 - p，因为没有平局，一定可以决出胜负。试解答：(www.xing528.com)

（1）求在三局二胜制下甲获胜的概率；

（2）求在五局三胜制下甲获胜的概率；

（3）对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利?

（4）给定 p=0.45，做出数值说明。

解 设 Ai 表示“第i 局中甲胜”，由已知 P ( Ai)= p；

可知，当p 大于0.5 时，差值为正，即采用五局三胜制对甲有利；

当p 小于0.5 时，差值为负，即采用三局二胜制对甲有利；

当p 等于0.5 时，差值为0.5，即不管采用三局二胜制，还是五局三胜制，甲与乙获胜的概率相等，都是0.5；

（4）给定 p=0.45，小于0.5，采用三局二胜制对甲有利；事实上，

此例与直观是一致的，对有实力的选手，局数越多，胜算越大。

2.概率统计理论超出现实生活中直观应用的实例

我们“直觉”认为，n 个相同分布随机变量中最大者也应服从相同的分布，但理论表明这个“直觉”对指数分布而言是错误的！下面的例子说明对均匀分布而言也是错误的。

但我们预言，n 个相同指数分布随机变量中最大者可能是指数分布母族（如伽马分布或威布尔分布）中给定参数的分布。

注：此例也表明一个参数的无偏估计往往不止一个，人们总是选取最优的无偏估计，这涉及标准的制定及在已定标准下如何去找到最优者。