概率统计案例：贝努利试验与离散分布

导读：本专题涉及(0,1)分布、几何分布、超几何分布、二项分布、泊松分布等与贝努利试验有关的随机变量，突出常见离散分布之间的关系，特别是二项分布的核心地位。由此专题，读者将会涉足多项分布、边缘分布等重要概念。

在现行教材及教学中，往往是按(0,1)分布、二项分布、泊松分布这样的逻辑顺序讲授离散分布的，对其他离散分布（如几何分布、负二项分布、超几何分布等）及其关系涉及很少，这是一个缺憾！这样的处理方式没有充分揭示常见离散分布的产生背景及其之间的内容关系，事实上，这几个离散分布都与贝努利试验有关，不放回抽样下的超几何分布，放回抽样下的二项分布，随着对二项分布的不断认识与极限抽象构造得到了泊松分布。贝努利试验就是放回抽样下的概率模型，正由于放回抽样下的负二项分布、二项分布、泊松分布有一脉相承的内在关系，才导致它们具有“可加性”的共同特性。本专题主要是阐明常见离散分布之间的内在关系，以弥补现行教材及教学的不足。因此，笔者建议，在离散分布的教学中应强调这一内容，以突出常见离散分布之间的内在关系及二项分布的核心地位。

1.贝努利试验与(0,1)分布

2.由几何分布到负二项分布

3.巴斯卡分布与负二项分布的关系

4.由(0,1)分布到二项分布

5.由二项分布到泊松分布

6.由二项分布到多项分布(www.xing528.com)

7.由超几何分布到二项分布

可知，二项分布与超几何分布之间有内在的必然关系。具体来说，超几何分布是不放回抽样下的分布，大总数下（N ≥10n ）的超几何分布可以近似当作放回抽样来处理。换言之，超几何分布的极限分布就是二项分布。事实上，每抽取1 件产品就是一次试验，将“抽到废品”当作事件A，而 P ( A) = p，在放回抽样下任取 n 件产品相当于做 n 重贝努利试验，这 n 件产品中的废品数X 就是服从参数n、p 的二项分布的随机变量，这与我们的直觉吻合。

8.常见离散分布之间的关系

从以上论述可知，超几何分布的极限分布就是二项分布，二项分布的n 重贝努利试验模型就是对应放回抽样下的“超几何分布”模型，它是一个非常重要的概率模型，具有广泛的应用。

二项分布的极限分布又是泊松分布，将二项分布中的试验次数n 取无穷大的极限而得到泊松分布，概率论理论的研究表明泊松分布在理论上有特殊重要的地位。反之，将泊松分布中的一定时间或一定空间做很多次均匀等分就近似得到二项分布。正是由于泊松分布与二项分布之间的这种内在关系，使得泊松分布在实践中应用也非常广泛。一方面，当n 很大，p 很小，而np =λ 不太大时，常常将较难计算的二项分布近似为泊松分布去计算，因为泊松分布的分布律作为级数可以通过查表而得到；另一方面，服从泊松分布的随机变量在各种应用领域是很常见的，如单位时间内来到电话交换局的电话呼叫次数、来到公共汽车站的乘客人数、来到机场降落的飞机数、母鸡下蛋数、某商店在某段时间内出售某种（非紧张）商品的件数等，其中参数λ 是单位时间内随机变量的平均值。

在各种离散分布中，二项分布具有承上启下的核心地位，其本质是n 个独立的(0,1)分布的和，由此本质得到二项分布的可加性以及泊松分布的可加性。如果现在考察的不是单位时间，而是[0,t)，那么这个平均值应该与时间t 成正比，也就是 λ t，所以在[0，t)这段时间内（来到的呼叫次数、乘客人数、飞机数、下蛋数等）应服从以 λ t为参数的泊松分布。

综上，(0,1)分布、几何分布、负二项分布、二项分布、泊松分布都是在贝努利试验（相当于放回抽样）条件下的分布，独立性起到了关键作用。超几何分布是在非贝努利试验（相当于不放回抽样）条件下的分布，不能应用独立性的结论。但是，大总数下（N≥10n）的超几何分布可以近似当作放回抽样来处理。